解答がなく困っています

　次の問題の解答がなくまた解けなくて困っています。


(1)ある人が、Ａ地からＢ地へ行くのに、一日の行程を予定より5km減らすと到着は３日遅れるし3km増すと一日早くなるというが、その距離は何kmか。

(2)６万円の年利率を５分で３年間預けた場合の元利合計は、単利法と複利法とではいくらの違いがあるか。

(3)東西２００km離れた甲・乙の飛行場がある。両飛行場の間に毎日定期便があって、時速５００kmの飛行機が同時に出発してそれぞれ相手の飛行場に行くことになっている。
今日もそのように出発したが、上空は風が強いため、いつも出会う場所とずっとずれた場所になってしまった。
風速毎秒６メートルの東風が吹いていたものとして、無風状態で出会う場所と今日出会った場所の距離を、求めよ。

(4)Ａ君は14.7km離れた山の頂上へ行くのに、行きは3時間40分、帰りは2時間52分かかった。Ａ君は下りを毎時6kmの早さで歩き、平地はその２５％減、登りはその４０％減の早さだある。この過程において、平地の占める割合はどれだけか。

(5)ある会社の去年の下半期の経費は1．800万円で上半期にくらべて10％の減少にあたるが、これは人件費の削減によるもので外の経費には全く変化がない。そして人件費だけをくらべると、下半期は上半期に対して20％の減少である
今年の上半期の人件費を去年の下半期よりさらに20％削減すれば今年の上半期の経費はどれくらいになるか。

No.7 回答者： hinebot 回答日時： 2002/10/09 13:46

だいぶ日にちが経ちましたので、(1)～(4)の答えも出しちゃいましょうか。

※解き方と(5)に関しては、#4,#5の回答を参考にしてください。

(1)
>(x-5)(y+3)=xy・・・a
>(x+3)(y-1)=xy・・・b
aの式を展開して　xy+3x-5y-15 = xy ∴3x-5y =15 ・・・c
bの式を展開して　xy-x+3y-3 =xy ∴-x+3y = 3 ・・・d
c+d×3 より、　-5y+9y = 15+ 9 ⇒　4y =24　∴ y=6
dより、x=3y-3 これにy=6 を代入して　x=18-3 = 15
求めるのはAB間の距離(=xy）なので、15×6 = 90 　答. 90km

(2)
元金a,年利rのとき 元利合計は単利法では(1+3r)a、複利法では a(1+r)^3 となるので
それぞれに a=60000, r=0.05 [1割＝0.1,1分＝0.01ですね] を代入して計算すると
単利法：(1+0.15)*60000 = 1.15*60000 = 69000
複利法：60000*(1+0.05)^3 = 60000*1.05^3 = 60000 * 1.157625 = 69457.5
　　　　端数は四捨五入として　69458
求めるのは差なので、69458 - 69000 = 458 答.458円（端数切捨てなら457円）

(3)
> {(x+6)t-(x-6)t}/2 = 6t が求める「無風状態で出会う場所と今日出会った場所の距離」になります。
> 左辺を整理すると 2xt = 200000 となり、無風状態で出会う時間と一致することが判ります。
でしたね。では実際にこの時間 tを求めましょう。
甲乙間は200km、飛行機は時速500kmですから
（このまま計算します。#4では解説のために秒速x m と置きましたが臨機応援にしてください。）
かかる時間は　200÷500 = 2/5 = 0.4 ここで時速で計算したのでこの0.4の単位は時間です。これを秒に直して、
0.4 時間 ＝(×60）⇒ 24 分　＝(×60）⇒　1440 秒　これがt になります。
よって、求める距離は　6t = 6×1440 = 8640 (単位はmになります）　答. 8640ｍ

(4)
4x+5y = 66000 ・・・a
4x+3y = 51600 ・・・b
これを解きます。
a-b より　5y-3y = 66000-51600 ⇒ 2y = 14400　∴y=7200
これをaに代入して
4x+5*7200 = 66000 ⇒ 4x = 66000-36000=30000　∴x=7500
（実は、x+y = 14700 という式も成り立つので　これから　x = 14700-7200=7500とすることもできます。）

>答えは (x/14700) × 100 [％] になります。
なので、あとはこれに代入して計算するだけです。　答.約51％　

【別解】
こんな考え方もできます。（実質同じことをやってるんですけどね。）
平地をx m　、坂道をy m とする。　
行きの時間：3時間40分＝220分、帰りの時間：2時間52分＝172分
下りの速度：毎時6km ＝　毎分 6000/60 =100 m と単位をそろえておく。
平地の速度は25％減なので　100×(1-0.25)= 75 (m/分)
登りの速度は40％減なので　100×(1-0.4) = 60 (m/分)
ここまでは同じです。
往路と復路の時間差は　220-172 = 48分
平地x m を移動する時間は往路復路で変わらないから、上記時間差は坂道にかかった時間差である。
往路の坂道（登り）にかかった時間は y/60
復路の坂道（下り）にかかった時間は y/100
よって、y/60 - y/100 = 48 が成り立つ。
これより、y = 7200 が求まる。　x+y=14700 なので　x = 7500
求める割合は　7500/14700 × 100 ≒　51 答. 約51％　

【補足】
問題文の
>君は下りを毎時6kmの早さで歩き、平地はその２５％減、登りはその４０％減の早さだある。
の登りの速さの解釈が、平地のさらに４０％減という意味だった場合
答えが違ってきます。
>登りの速度は40％減なので　100×(1-0.4) = 60 (m/分)
ここの計算が　75×(1-0.4) = 45 (m/分) となり、
上記別解方式で考えると
>y/60 - y/100 = 48 が成り立つ。
この式が　y/45 - y/100 = 48 に変わります。
これを解くと　y = 43200/11　となり、 x+y =　14700より x = 118500/11
求める割合は、
（118500/11）÷14700 ×100 ≒ 73.3 (％)
となります。（数字が奇麗にならないので、多分最初の答えでよいと思いますが、念のため）

No.6 回答者： nozomi500 回答日時： 2002/09/28 09:01

#3です。

＃４、５と、詳しい解説があり、私も感服しています。（あまり親切にしたら質問者さんのためにならない、というのもありますが）

（３）の飛行機の問題ですが、時速500ｋｍ、といのはプロペラ機のスピードですね。プロペラ機は、まわりの空気を押して進んでいますから、離陸した時点で「相対速度」を「空気」にとれば問題ありません。
川を流れる水の上を、ボートこぐようなもの。
したがって、200ｋｍはなれた地点で両者が離陸してしまえば、両者の間の位置関係は無風と同じ。「両者を乗せた風」がどれだけ動くか、の問題になります。
（ジェット機の場合、爆発させた排気の反作用で推進力を得るので、同じ結果になるとは限らないとおもいます。）

No.5 回答者： hinebot 回答日時： 2002/09/27 11:15

(4)

平地をx m　、坂道をy m とする。　
行きの時間：3時間40分＝220分、帰りの時間：2時間52分＝172分
下りの速度：毎時6km ＝　毎分 6000/60 =100 m と単位をそろえておく。
平地の速度は25％減なので　100×(1-0.25)= 75 (m/分)
登りの速度は40％減なので　100×(1-0.4) = 60 (m/分)
よって行きに関しては　坂道は登りなので
x/75 + y/60 = 220　…(a)
帰りに関しては　坂道は下りなので
x/75 + y/100 = 172　…(b)
という式が成り立つ。
(a)は両辺に300をかけて
4x+5y = 66000
(b)も両辺に300をかけて
4x+3y = 51600
これを解いて x,y が出たら、求めるのは平地の占める割合なので
答えは (x/14700) × 100 [％] になります。

(5)
ちょっと丁寧にやりますね。
「下半期の経費は1．800万円で上半期にくらべて10％の減少」から
去年の上半期の経費は　1800 ÷0.9 = 2000(万円)
よって差額は　2000 - 1800 = 200 (万円)
「件費の削減によるもので外の経費には全く変化がない。そして人件費だけをくらべると、下半期は上半期に対して20％の減少」から、経費全体の差額＝人件費の差額（削減費）なので、
去年の上半期の人件費は　200 ÷0.2 = 1000（万円）
従って去年の下半期の人件費は 1000-200 = 800（万円）
「今年の上半期の人件費を去年の下半期よりさらに20％削減」すると
その削減金額は 800 ×0.2 = 160(万円)
よって、求める今年の上半期の経費は　1800 - 160 = 1,640(万円)
※答えまで出しちゃいました。問題の内容が入り組んでますので、下手に連立方程式を作るより、こういう風に１つ１つ丁寧に値を出す方が良いと個人的には思います。

No.4 回答者： hinebot 回答日時： 2002/09/27 09:48

(1)

#1の方の回答でOKですが、なぜ
>(x-5)(y+3)=xy・・・a
>(x+3)(y-1)=xy・・・b
の式ができるかは大丈夫ですか？
⇒　２つの式の両辺とも求める距離を表しています。
あと、この連立方程式の解き方もOKですか？
⇒　2式とも左辺を素直に展開してください。するとxyの項が消えてくれます。
　　あとは、普通の連立方程式になります。

(2)
>「単利」は一次関数。「複利」は指数関数。
これはOKですか？
元金a,年利rのとき
単利では　a+ar+ar+ar　=a+3ar =(1+3r)a なので(rの）一次関数
複利では
a+ar+(a+ar)r+{a+ar+(a+ar)r}r
=a+2ar+ar^2+(ar+2ar^2+ar^3)
=a+3ar+3ar^2+ar^3=a(1+3r+3r^2+r^3) =a(1+r)^3
となるので、(1+rの）指数関数　という訳です。
計算は#3の方が正解と思います。

(3)
飛行機をそれぞれ東行きA,西行きBとし、それぞれの通常の秒速をx m/s (=500 km/h) とします。
Aは向かい風になるので速度は x-6 m/s になり
逆にBは追い風になるので速度は x+6 m/s　になります。
二つの飛行機が出会うまでの時間をt(秒)とすると
出会うまでにAが飛行した距離は (x-6)t、Bが飛行した距離は(x+6)t　となります。
普段（無風で）は両者同じ速度ですから、普段出会う位置は甲乙の中間点になります。
よって、飛行距離の差の半分、すなわち
{(x+6)t-(x-6)t}/2 = 6t が求める「無風状態で出会う場所と今日出会った場所の距離」になります。
※判りにくければ、線図(|----------|-------|　こういうやつ）を書いてみましょう。
さて、この時間tですが甲乙間の距離を考えると
(x+6)t+(x-6)t = 200000
が成り立ちます。左辺を整理すると 2xt = 200000 となり、無風状態で出会う時間と一致することが判ります。
#2さんが、「この1/5時間でどれだけ風に流されるか、でOK。」と言っているのはこういう意味です。

(4)(5)は締め切られていなければ後ほど。

No.3 回答者： Hageoyadi 回答日時： 2002/09/27 08:42

じゃ（２）を。

◇単利法：年利率5％で、初期投資額60000円の場合の3年後の元利合計は、次のようになります。 　　
（1+0.05*3）*60000

◇複利法：同じ例を複利で計算すると、
（1+0.05）の3乗*60000 　　
単利法の場合は1次関数のグラフに、複利法の場合は指数関数のグラフになります。


ご質問からは背景がつかめませんが、どうお困りなんでしょう？よかったらお聞かせくださるとほかの方も助かります。

No.2 回答者： nozomi500 回答日時： 2002/09/27 08:40

一つずつ条件を整理していったら、たとえ時間はかかってもできるものですがね。

（２）「単利」は一次関数。「複利」は指数関数。それぞれY1とY2で式を作れば
・Y1＝60000×（1.05）×3
・Y2＝60000×（1.05）＾3
中学生でも3乗ぐらいなら出来るだろうけど、Y2-Y1を計算するときに、共通因数はまとめたら早い。

（３）飛行機をそれぞれ東行きA,西行きBとする。
時速は秒速に統一する。500ｋｍ/ｈ＝（500000/3600ｍ）/ｓ
Aの速度：↑から６ｍ/ｓをひく。Bの速度：↑に6ｍ/ｓを加える。（東風、というのは西向きに吹く風だから）

ただ、これは普遍的な方法で、この問題の場合は簡単にできます。
どちらの飛行機も同じように風に流されているなら、出会うまでの時間は同じ。
（無風状態で出会う場所は、両方500ｋｍ/ｈなら中間ですよね。）
両方から500ｋｍ/ｈで近づいているなら、1時間に1000ｋｍ近づく。２００ｋｍの間隔ならば、1/5時間で出会う。
この1/5時間でどれだけ風に流されるか、でOK。

（４）平地をｘｋｍ。坂道をｙｋｍとして、連立方程式を立てたらすぐ。（答えは「割合」だから、そのままｘを答えちゃいけないよ。）
平地の速さは（6×3/4）ｋｍ/ｈ、下りは（6×3/5）ｋｍ/ｈ、

（５）人件費をｘ万円、その他の経費をY万円、として連立方程式をつくればすぐ。
（これも答えは、さらに次の上半期を計算するわけだから、ｘがそのまま答えにならない）

No.1 回答者： gakusei-0 回答日時： 2002/09/27 08:06

(1)まず１日に進む距離をｘkm、かかる日数をｙ日とすることで

２つの式が成り立つ。
　(x-5)(y+3)=xy・・・a
(x+3)(y-1)=xy・・・b
式a,bを解くと、x=15km/日,y=6日間となる。
これより、総移動距離は
xy=15*6=90km・・・答