円に内接する三角形の面積

下記の質問に答えようと考えたのですが結局わかりませんでした。
回答が締め切られたので質問者さんは納得したのだと思いますが、私はどうしても気になりまして・・・
回答お願いします。


QNo.3843295 わかりません
質問者：yoshi456 高校2年生のものです。
ある問題集に以下のようなものがありました。

直角三角形に半径r の円が内接していて，三角形の3 辺の長さの和と円の直径との和が2となっている．このとき以下の問に答えよ．
(1) この三角形の斜辺の長さをr で表せ．
(2)　r の値が問題の条件を満たしながら変化するとき，この三角形の面積の最大値を求めよ．

(1)は図形を描いたらまんまで2rでした。
問題は(2)でまず条件より、4r^2=a^2+b^2 , a+b+2r+2r=2
後の式を2乗して最初の式を引いて整理すると,ab/2=3r^2-4r+1と出てきます。
あとはrの範囲を求めればいいのでしょうが、わかりません。
和が2という条件を使うんでしょうか・・・
どなたか教えてください。


以上が当初の質問です。

ちなみに
4r^2=a^2+b^2・・・(1)
a+b+2r+2r=2・・・(2)
の条件下でab/2の最大値を求めると思うのですが、

とりあえず、問題より0＜r＜1/2・・・(3)

(2)の2乗－(2)×8をすると
2ab-16r^2=4-16rより
ab/2=8r^2-8r+2=2(2r-1)^2・・・(4)

(1)式より
(a+b)^2-2ab=4r^2より
ab/2=〔(a+b)^2-4r^2〕/4
これに(2)よりa+b=2-4rを代入して
ab/2=(3r-1)(r-1)/4・・・(5)

でも、(4)にしても(5)にしてもr=0のときに最大になるんですよね。
やっぱり三角関数使わないと解けないのでしょうか？それとも条件不足で解けないんでしょうか？回答お願いします。

No.2 回答者： tama1978 回答日時： 2008/03/08 13:04

＞問題は(2)でまず条件より、4r^2=a^2+b^2 , a+b+2r+2r=2

＞後の式を2乗して最初の式を引いて整理すると,ab/2=3r^2-4r+1と出てきます。

ここの計算しますね。
4r^2=a^2+b^2 ...(1)
a+b+4r=2 .....(2)

(2)式は、
(a+b)^2=(2-4r)^2
a^2+b^2+2ab=16r^2-16r+4
(1)式を代入すると
4r^2+2ab=16r^2-16r+4
2ab=12r^2-16r+4
ab=6r~2-8r+2
因数分解すると
ab=(6r-2)(r-1)
r=1/3,1

＞問題より0＜r＜1/2・・・(3)
ということから、
r=1/3が最大になるのでは、ないでしょうか。

間違っていたらすみません。

No.1 回答者： Meowth 回答日時： 2008/03/08 13:00

前半とは無関係に

（１）、（２）なら

(2)の2乗－(2)×8
は意味不明
ab/2=(3r-1)(r-1)/4
は正解

r=0のときに最大になるんですよ

なにが問題なのでしょうか。

この回答へのお礼

r=0のときに斜辺が０になるので三角形はできなくなりますよね・・・

お礼日時：2008/03/08 13:30