山の断層写真が正面からも横からも右肩上がりだったら

山の風景を見ていて、素朴な疑問が浮かびました。

正面方向からの断層写真が常に右肩上がり、横方向からの断層写真も常に右肩上がりならば、斜め方向からの断層写真も常に右肩上がりまたは下がりになるのでしょうか？

つまり、
z=f(x,y)のグラフがあって、平面x=a(aは任意)で切ったとき、yに関してzは単調増加、y=b(bは任意)で切ったとき、xに関してzは単調増加のとき、y=cx(cは任意)で切ったときも、xに関してzは単調増加になるのでしょうか？

さらに、
z=f(x,y)のグラフがあって、平面x=a(aは任意)で切ったとき、yに関してzは上に凸、y=b(bは任意)で切ったとき、xに関してzは上に凸のとき、y=cx(cは任意)で切ったときも、xに関してzは上に凸になるのでしょうか？

ふと思いついただけですので、必要であれば条件などを変更していただいてもいいと思います。

No.2 ベストアンサー 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/03/29 04:14

任意の a について f(a,y) が y の単調増加関数、

任意の b について f(x,b) が x の単調増加関数であるとき、
f(x,cx) は x の単調増加関数であるか？ という意味なら、

c≧0 では yes ですが、c＜0 では そうとは言い切れません。

c≧0 の場合の証明：
f(x,cx) - f(w,cw) = { f(x,cx) - f(w,cx) } - { f(w,cx) - f(w,cw) }

c＜0 の場合の反例 (1)：
f(x,y) = x + y,　c = -2

c＜0 の場合の反例 (2)：
f(x,y) = e^x + e^y,　c = -1

No.3 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/03/30 02:16

No.2 の誤記訂正です。

　　c≧0 の場合の証明：
　　f(x,cx) - f(w,cw) = { f(x,cx) - f(w,cx) } ＋ { f(w,cx) - f(w,cw) }

それと、凸性に関する反例：
　　f(x,y) = -x^2 +3xy -y^2,　c = 2

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2008/03/29 03:28

こんばんは。

これは、ｚ＝ｆ（ｘ、ｙ）が、ｘに関してもｙに関しても、常に、どこの場所でも単調増加であるということを規定しないと、答えを出すことができません。

１つ１つの地層が真っ平らであることを仮定すれば、
一つ目に付いては、、
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崖、地層は、ＸＹ平面より下まであることにして、
平面の方程式ｘ＝ａ　は、ｘ＝０　にしちゃいましょう。
（ｘ＝０　は、すなわち　ＹＺ平面）
もう一つの平面の方程式ｙ＝ｂ　も、ｙ＝０　にしちゃいましょう。
（ｙ＝０　は、すなわち　ＸＺ平面）
後は簡単にイメージできます。
ｚがｘ、ｙについて単調増加であれば、計算は省略しますが、
ｙ＝ｃｘで切った断面では、
始点を原点（０，０，０）として坂を上がっていくのですから、
ｘに対してもｙに対しても、単調増加になります。
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しかし、
ＸＺ平面とＹＺ平面の両方で単調増加だとしても、任意の（ｘ、ｙ）において、∂ｚ／∂ｘ≧０　∂ｚ／∂ｙ≧０　であるとは限りません。
地層に局所的に多少の凸凹があるだけでも成立しなくなります。

よって、まずは、
地層が真っ平らだとそうなる、ということで。