有理数の測度

有理数の集合の測度が0であることの証明は
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3714410.html
が定石だと思うのですが、その証明の過程で起こってることがとっても不思議です
「稠密な集合の1点1点を幅のある区間で覆っている」のに、Rを覆えないどころか、区間の幅の和がいくらでも小さくなっちゃうなんて。。。

このことについて、「なるほど～」と思える解説を教えてください
(集合の濃度にはあまり触れずにおねがいします)
よろしくおねがいします

No.2 ベストアンサー 回答者： petit-C 回答日時： 2008/04/12 23:41

#1です。

> うーん、集合和を有限で止めている覚えはないんですけど。。。

なるほど、質問の意図を読み違えていました。

> だからRを覆っているということはないはずです。

あまり、触れないように避けたのですが、Rって、実数集合のことだったんですね。
Rationalかと思ったのですが、有理数は、普通Qでしたよね。
たしかに、Rは、覆っていませんでした。

Rを覆っていないというのは、どんどん小さくなっていく加算無限の区間列の和集合に含まれないような実数が、どこかわからないけど、存在するといったイメージでしょうが、
実際、区間列の生成方法をうまく決めれば、そのような実数を探し出すことができそうな気がします。

そのような実数があったとして、その実数の近くのどの有理数をとっても、
その有理数を含む区間は狭すぎて、その実数を含まない状況になっていると想像できます。

専門家でなく、また、結構ブランクがあるので、ちゃんとした確認までしてませんが、
（と言い訳させていただきますが）
たぶん、あっているのではないでしょうか？

この回答への補足

さきほど、区間列に含まれる実数を探し出すほうが困難と書いたのですが、測度的に圧倒的に少ないという意味でした。。。
誤解を招くような表現で、すみません

補足日時：2008/04/13 09:42

この回答へのお礼

たしかに実数の集合Rって書くべきでした。。。
わかりにくい質問ですみませんでした

有理数の立場から考えるのではなく、実数の立場から考えれば、ある実数の近くまで有理数が到達する頃には、有理数を含む区間の幅が急激に減少してるので、覆うことができないという解釈ですね
すべての実数は、Qから距離ゼロの位置にあるといっても、距離はinfで定義されるので、そこに無限が介在していて、距離ゼロという言葉以上にずっと遠くの彼方にあるイメージでしょうか。。。

でも、区間列の幅の和はいくらでも小さくできるので、実際は「そのような実数を探し出すこと」よりも、区間列に含まる実数を探し出すほうが困難なことなんですよね
それが不思議に思えてしまいます。。。

返信、ありがとうございました

お礼日時：2008/04/13 09:21

No.1 回答者： petit-C 回答日時： 2008/04/12 19:24

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3714410.html
は、言葉で言うと、測度0の集合の加算無限個の和集合の測度は0ということでしょうが、
これは、個人的には、非常にインパクトがあり、直感的で心に残る定理だと思います。

有理数は、実数上の点で、当然、測度0、また、加算集合なので、
上記のことから、有理数集合は、測度0になります。

おそらく、milk-roadさんが、「Rを覆えない」という印象は、
集合和を途中で（有限で）止めるからだと思います。
（証明手順の順序の問題で、証明としては問題ないと思いますが。）

リーマン流では、有限で止めないといけませんが、
ルベーグ流で、極限集合まで考えて良いと思います。

思考手順を若干修正して、有理数集合を覆える集合を考えてみたら良いのではないでしょうか？

有理数を順序付けして、n番目の要素を長さ = ε*r^n (0<r<1) の区間で覆ってやれば、
極限集合は、有限の長さになっていますし、ちゃんと覆ってもいます。

数学の難しいところですが、 手順だけを示して、実際に行わないというのも、大事のような気がします。
とくに、極限集合を先に作るという作業は、たとえば、手で実際に最後まで書くことはできませんので。

ご参考になったでしょうか？

この回答へのお礼

うーん、集合和を有限で止めている覚えはないんですけど。。。
また、回答にある「極限集合」がRを覆っているとしたら、それは開区間の可算和になるので、Rの外測度が0っていうことになっちゃいますよね？
だからRを覆っているということはないはずです

ただ、質問文に書いた「1点1点を幅のある区間で覆っている」というところで、有限が入り込んじゃってる感じはあるんです
人間がやることですので、任意に1点を選ぶと言っても、無限の先から有理数をもってくるわけにはいかないですから。。。

ありがとうございました

お礼日時：2008/04/12 20:52