Aが開集合であるための必要十分条件は
A∩∂A=φ
であることを示せ。
という問題で、解説に
AがA∩∂A=φをみたす集合とする。R^2のすべての点はAの内点か外点か境界点かのいずれかである。
いまAの任意の点aをとると、aは∂Aに属さないという仮定から境界点でない。
とあるのですが、「R^2のすべての点はAの内点か外点か境界点かのいずれかである」とはどういう意味ですか? ここはよくわからないです。
次の「Aの任意の点aをとると、aは∂Aに属さないという仮定から境界点でない」というところはAと∂Aの共通の要素はないからaは∂Aに属さないという解釈で合っていますか?
ここで言っている仮定とはA∩∂A=φのことですよね
質問が多いと思いますがどうか回答よろしくお願いいたします。
No.2
- 回答日時:
A が開集合ならば A ∩ ∂A = Φ
A ∩ ∂A = Φ ならば A が開集合
と言えれば必要十分を満たしていると考えるんですよね?
A が閉集合ならば A ∩ ∂A = ∂A になるんでしょうか。
No.1
- 回答日時:
∂ は ¬ と同じですか?
Φ は空集合ですか?
A が閉集合なら、境界は A に属し、かつ、¬A にも属するとしたら、境界のみが共通になるのかもしれません。
それならば、A が開集合なら、境界は A にも、¬A にも属さないので、共有するところがない、という意味でしょうか。
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∂AはAの境界点の全体です。すなわちAの境界です。
φは空集合です。