高校数学 集合Xの要素の個数を Num(X)と表す。 全体集合Uとし，その部分集合A，Bについて，N

高校数学

集合Xの要素の個数を Num(X)と表す。 全体集合Uとし，その部分集合A，Bについて，Num(U)=95，Num(A)=65，Num(B)=47であるとき，Num(A∧Bバー)のとりうる値の範囲を求めよ。

65+47=112
112－95=17

Num(A∧B)=17
よってNum(A∧Bバー)=65－17=58
かと思いました。

解答は18≦ Num(A∧Bバー)≦48
でした。どこが間違っていますか

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/28 09:48

＞ どこが間違っていますか

あなたは、
Num(A) + Num(B) = 112
112 - Num(U) = 17
Num(A∧B) = 17
Num(A∧Bバー) = Num(A) - Num(A∧B) = 58
と計算したわけですね。

Num(A∧B) = Num(A) + Num(B) - Num(U)
だと考えたことになります。
間違っているのは、ここです。

例えば、A が空集合の場合、この式は
0 = 0 + Num(B) - Num(U)
となってしまいますが、
Num(A∧Bバー) = Num(A) - Num(A∧B)
と同じ考え方でいけば
Num(Bバー) = Num(U) - Num(B)
でなければいけないはずですよね？
A が空集合がどうかと
B = U であるかどうかには、何の関係もないはずです。

正しくは、
Num(U) = Num(A) + Num(B) - Num(A∧B)
ではなく
Num(A∨B) = Num(A) + Num(B) - Num(A∧B)
です。
A∨B と U の差が不定なので、
Num(A∧Bバー) の値もひとつに決まらないのです。

A∨B が一番大きくなる場合に
A∨B = U ですから、
Num(U) = Num(A∨B) = Num(A) + Num(B) - Num(A∧B)
となって
Num(A∧Bバー) = 65 - 17 = 48
このとき A∧Bバー は最大です。

ああ、65 - 17 の引き算も違ってますね。

この回答へのお礼

解決しました
回答ありがとうございました。

お礼日時：2024/01/29 13:51

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/29 09:06

一番の間違いは、出発点で

Num(U)=95，Num(A)=65，Num(B)=47 という条件から
Num(A∧Bバー) の値がひとつに定まると考えてしまったことにある。

与えられた条件だけでは
Num(A∧Bバー), Num(A∧B), Num(A∨B) などの値が可変
であることに気づけば、他の考え方もあったろう。
具体的には、 No.3 に書いたとおり。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/01/29 07:42

あなたの

Num(A∧B)=17
の意味が

Num(U)=Num(A)+Num(B)-Num(A∧B)+Num(U∧(AVB)バー)
95=65+47-Num(A∧B)+Num(U∧(AVB)バー)

Num(U∧(AVB)バー)≧0、Num(A∧B)≧65+47-95=17
だから、Num(A∧Bバ－)が最も大きい時
Num(A∧Bバ－)=Num(A)-Num(A∧B)
だから
Num(A∧B)=17
という意味なら合ってる。省略激し過ぎだけど。

65-17=58 は引き算を間違えている。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/28 11:20

Num(A∧B)=17が間違っている

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/01/28 10:21

A∧Bバーの要素数が最も少なくなるのは

BがAに完全に含まれる時だから
65-47=18

Ａ∧Ｂバ－の要素数が最も大きくなるのは
単純に考えるとAにBが含まれない時だが
そうするとAとBの要素数の和が全体集合の要素数を越えてしまうので
NG。
少なくとも65+47-95=17個の要素はAとBの双方の要素になっていないといけないので、A∧Bバーの要素数数の最大値は 65-17=48

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/28 05:23

集合Xの要素の個数を Num(X)=|X|と表す

集合Xの補集合を-Xと表す
A⊂U
B⊂U

95=|U|
95=|(A-B)∪(B-A)∪(A∩B)∪{(U-A)∩(U-B)|
95=|A-B|+|B-A|+|A∩B|+|U-(A∪B)|…(1)

65=|A|
65=|(A-B)∪(A∩B)|
65=|A-B|+|A∩B|…(2)

47=|B|
47=|(B-A)∪(A∩B)|
47=|B-A|+|A∩B|…(3)

(2)を(1)に代入すると

95=65+|B-A|+|U-(A∪B)|
30=|B-A|+|U-(A∪B)|
30-|U-(A∪B)|=|B-A|
↓|B-A|≧0だから
30-|U-(A∪B)|≧0
30≧|U-(A∪B)|
0≦|U-(A∪B)|≦30

(3)を(1)に代入すると

95=|A-B|+47+|U-(A∪B)|
48=|A-B|+|U-(A∪B)|
48-|A-B|=|U-(A∪B)|
↓これを0≦|U-(A∪B)|≦30に代入すると
0≦48-|A-B|≦30…(4)
48-|A-B|≦30
18≦|A-B|…(5)
(4)から
0≦48-|A-B|
|A-B|≦48
↓(5)18≦|A-B|から
∴
18≦|A-B|≦48

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2024/01/28 01:40

集合なので結局の所

A and not（B）
A and B
not(A) and B
not (A or B)

という４種類しか無いわけです。まず、これら４要素の範囲を計算しましょう。not (A or B) = 0 である時が片方の極端なパターン。反対に B ∈ A である場合が他方の極端なパターンです。

これができたら、おのずと計算できるはずです。ベン図も描いてみましょう。