No.14ベストアンサー
- 回答日時:
補足なさった
> f(z)=e^izのとき、|z|→∞の極限でf(z)→0となるzの偏角の範囲を求めよ。
は、本質的ではない修正ですね。不足している条件がそれだけであるはず、ありません。
なぜなら、そう変えてみたところで、「偏角の範囲」を問う以上は、やはりzの偏角に制限が付くということ。言い換えれば「zの経路によらず」ではないんだから、従って「|z|→∞の極限」という概念がそもそも意味をなさない。なので、この問いは全くのナンセンスてか、メチャクチャてか、スカタンのままです。
もしかして「zの偏角を一定に保ったまま|z|→∞」とかなんとか、書いてあったりするんじゃないかしらん。
No.13
- 回答日時:
はい、答は実軸上の上部域に含まれる
原点を頂点とする扇形で頂角がπより小さい領域Dということになる。
証明
δ>0を適当に取るとDは偏角δの直線と偏角π-δ 0<δ<π/2 の直線にはさまれたおおぎ型領域⊿に含まれる。すると
円|z|=Rが⊿を貫く部分において|f(z)|<e^(-Rsinδ)だから
|z|=R→∞のとき|f(z)|→0 になる。
D⊂⊿なのでDにおいても|z|=R→∞のとき|f(z)|→0 になる。
No.12
- 回答日時:
←補足 02/06 16:51
z→∞ が |z|→∞ の書き間違いだというのは、
おおかたの回答者が疑問なく読み取っただろうと思う。
真に問題なのは、「zの偏角の範囲」が何を意図しているか
のほうだよ。 ここが要補足。
No.10
- 回答日時:
さてはどうも、何か肝心な話を書き落としていらっしゃるか、あるいは、問題の写し間違いをなさってんではなかろうか。
たとえばz = x exp(iθ) (x, θは実数で、x≧0)
において、x→∞の極限でf(z)→0になる定数θの範囲は?
という問いなら、意味を持って成立するけどなあ。ちうわけで、質問者氏が反応しないとどうしようもないと思う。
なんでそんな話になるのか説明しますと:「z→∞の極限でf(z)→0」というのは、zが(どんな経路に沿ってであろうと)∞に近づきさえすれば(ってのはあいまいだけど、この場合、|z|が発散するということ以外には考えにくい)、その経路によらず必ずf(z)は0に近づく、というほどの意味です。
そしてご質問の場合、z=ix (xは負の実数)という経路を通ればf(z)は発散するから、z→∞の極限が存在しないのは明らかです。
いやそれ以前に、zの偏角に制限が付くようじゃ「経路によらず」になっていない。すなわち、(fが何であるかなんか関係なく)「z→∞の極限」が存在するという前提で「偏角の範囲」を問う、ということ自体、全くのナンセンスてか、メチャクチャてか、スカタンである。(…と思ったら、そんなことはもうNo.6に書いてあったわい。)
No.6
- 回答日時:
そもそも、「z→∞ の極限で...となる偏角の範囲」という問題のあり方がおかしい。
冒頭の「z→∞」からして既に ∞ の定義がどうなってるのか謎だし、
そこは一点完備化で |z|→+∞ と解釈するとしても、
|z|→+∞ としながら arg z は任意に変えられるので
「偏角の範囲」とは何事か?という話になる。
「偏角の範囲」という言葉が意味をなすようにするために
偏角は一定で |z|→+∞ とすることに限定してしまえば、
|z|→+∞ のとき e^(iz)→0 となる arg z の範囲は 0 < arg z < π になる。
これが正しいか否かは、問題解釈の話題にすぎない。
z が任意の経路で「∞」へ向かうとすれば、
z の絶対値を r(t), 偏角を θ(t) と置いて
lim[t→∞] r(t) = +∞ の条件下に
lim[t→∞] e^(iz) = 0 となる θ はどんな関数か?
という問題になる。
e^(iz) = e^(i r(cosθ + i sinθ))
= e^(ir cosθ - r sinθ)
= (e^(ir cosθ))(e^(-r sinθ))
より
|e^(iz)| = e^(-r sinθ)
なので、
e^(iz)→0 は r sinθ→+∞ と同値になる。
r→+∞ なのだから、十分大きい t に対しては θ>0 つまり
∃T,∀t>T,θ(t)>0 が成り立つような θ(t) であればいい。
lim[t→∞] θ(t) が収束する必要も特にない。
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質問文の一部が間違えておりました。正しくは
f(z)=e^izのとき、|z|→∞の極限でf(z)→0となるzの偏角の範囲を求めよ。
絶対値が抜けておりました。みなさんの混乱の原因となってしまっておりましたら、申し訳ありません。
問題文に関しましてはこれ以上なにも書いておりません。
過去の試験問題なので作った先生に聞いてみるしかなさそうです…。