極限の問題

f(z)=e^izのとき、z→∞の極限でf(z)→0となるzの偏角の範囲を求めよ。
この問題の解き方を教えてください。

質問者からの補足コメント

• 質問文の一部が間違えておりました。正しくは
  
  f(z)=e^izのとき、|z|→∞の極限でf(z)→0となるzの偏角の範囲を求めよ。
  
  絶対値が抜けておりました。みなさんの混乱の原因となってしまっておりましたら、申し訳ありません。

    補足日時：2024/02/06 16:51

• 

  問題文に関しましてはこれ以上なにも書いておりません。
  過去の試験問題なので作った先生に聞いてみるしかなさそうです…。

    補足日時：2024/02/07 00:42

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2024/02/04 21:59

あ、ぼくの解答あやまってました、ごめんなさい。

しかし先のお二方の解答もあやまりです。
つまり、たとえば
実軸に平行な直線ｚ＝i以上の領域内のｚはたしかに偏角が
0＜　＜πだけれども、この直線に沿ってｚをどんどん右に移動させて
|ｚ|→∞としても|f(z)|はe^-1のままで０に収束しません。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/04 20:43

f(z)=e^(iz)

r=|z|
t=arg(z)
とすると
z=re^(it)=rcost+irsint

0
=lim_{z→∞}|f(z)|
=lim_{z→∞}|e^(iz)|
=lim_{r→∞}|e^{i(rcost+irsint)}|
=lim_{r→∞}|e^{ircost-rsint}|
=lim_{r→∞}|e^{ircost}e^{-rsint}|
=lim_{r→∞}e^{-rsint}

lim_{r→∞}e^{-rsint}=0
↓
sint>0
↓
0<t<π
↓t=arg(z)だから
∴
0<arg(z)<π

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2024/02/04 17:06

ｚ＝ｘ＋iｙとすれば

|f(z)|＝e^(-ｙ)だから
そんな偏角の範囲はない。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/02/04 16:46

|f(z)|=|e^iz|=e^(-y) → 0 (y>0)

0<Θ<π