極限の問題

f(z)=e^izのとき、z→∞の極限でf(z)→0となるzの偏角の範囲を求めよ。
この問題の解き方を教えてください。

質問者からの補足コメント

• 質問文の一部が間違えておりました。正しくは
  
  f(z)=e^izのとき、|z|→∞の極限でf(z)→0となるzの偏角の範囲を求めよ。
  
  絶対値が抜けておりました。みなさんの混乱の原因となってしまっておりましたら、申し訳ありません。

    補足日時：2024/02/06 16:51

• 

  問題文に関しましてはこれ以上なにも書いておりません。
  過去の試験問題なので作った先生に聞いてみるしかなさそうです…。

    補足日時：2024/02/07 00:42

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/02/04 16:46

|f(z)|=|e^iz|=e^(-y) → 0 (y>0)

0<Θ<π

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2024/02/04 17:06

ｚ＝ｘ＋iｙとすれば

|f(z)|＝e^(-ｙ)だから
そんな偏角の範囲はない。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/04 20:43

f(z)=e^(iz)

r=|z|
t=arg(z)
とすると
z=re^(it)=rcost+irsint

0
=lim_{z→∞}|f(z)|
=lim_{z→∞}|e^(iz)|
=lim_{r→∞}|e^{i(rcost+irsint)}|
=lim_{r→∞}|e^{ircost-rsint}|
=lim_{r→∞}|e^{ircost}e^{-rsint}|
=lim_{r→∞}e^{-rsint}

lim_{r→∞}e^{-rsint}=0
↓
sint>0
↓
0<t<π
↓t=arg(z)だから
∴
0<arg(z)<π

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2024/02/04 21:59

あ、ぼくの解答あやまってました、ごめんなさい。

しかし先のお二方の解答もあやまりです。
つまり、たとえば
実軸に平行な直線ｚ＝i以上の領域内のｚはたしかに偏角が
0＜　＜πだけれども、この直線に沿ってｚをどんどん右に移動させて
|ｚ|→∞としても|f(z)|はe^-1のままで０に収束しません。

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/02/05 07:35

なるほどそうですね

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/05 13:42

そもそも、「z→∞ の極限で...となる偏角の範囲」という問題のあり方がおかしい。

冒頭の「z→∞」からして既に ∞ の定義がどうなってるのか謎だし、
そこは一点完備化で |z|→+∞ と解釈するとしても、
|z|→+∞ としながら arg z は任意に変えられるので
「偏角の範囲」とは何事か？という話になる。

「偏角の範囲」という言葉が意味をなすようにするために
偏角は一定で |z|→+∞ とすることに限定してしまえば、
|z|→+∞ のとき e^(iz)→0 となる arg z の範囲は 0 < arg z < π になる。
これが正しいか否かは、問題解釈の話題にすぎない。

z が任意の経路で「∞」へ向かうとすれば、
z の絶対値を r(t), 偏角を θ(t) と置いて
lim[t→∞] r(t) = +∞ の条件下に
lim[t→∞] e^(iz) = 0 となる θ はどんな関数か？
という問題になる。

e^(iz) = e^(i r(cosθ + i sinθ))
　　　= e^(ir cosθ - r sinθ)
　　　= (e^(ir cosθ))(e^(-r sinθ))
より
|e^(iz)| = e^(-r sinθ)
なので、
e^(iz)→0 は r sinθ→+∞ と同値になる。

r→+∞ なのだから、十分大きい t に対しては θ>0 つまり
∃T,∀t>T,θ(t)>0 が成り立つような θ(t) であればいい。
lim[t→∞] θ(t) が収束する必要も特にない。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/05 18:08

あ、いかん。

∃T, ∀t>T, sinθ(t)>0 だけじゃダメだな。
条件は lim[t→∞] r(t) sinθ(t) = +∞ までの話にしとこ。

No.8 回答者： syotao 回答日時： 2024/02/05 19:07

んー、だからδ＞0が小さいとして偏角がδからπ－δの領域にしぼれば

いいと思うんだけどなぁ？

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/06 00:01

θ(t) が 0 か π へ寄ってく速さと

r(t) が大きくなる速さのバランスによっては
No.4 みたいなことが起こるけどね。

No.10 回答者： stomachman 回答日時： 2024/02/06 13:59

さてはどうも、何か肝心な話を書き落としていらっしゃるか、あるいは、問題の写し間違いをなさってんではなかろうか。

たとえば

　　z = x exp(iθ) (x, θは実数で、x≧0）
において、x→∞の極限でf(z)→0になる定数θの範囲は？

という問いなら、意味を持って成立するけどなあ。ちうわけで、質問者氏が反応しないとどうしようもないと思う。

　なんでそんな話になるのか説明しますと：「z→∞の極限でf(z)→0」というのは、zが（どんな経路に沿ってであろうと）∞に近づきさえすれば（ってのはあいまいだけど、この場合、|z|が発散するということ以外には考えにくい）、その経路によらず必ずf(z)は0に近づく、というほどの意味です。
　そしてご質問の場合、z=ix (xは負の実数）という経路を通ればf(z)は発散するから、z→∞の極限が存在しないのは明らかです。

　いやそれ以前に、zの偏角に制限が付くようじゃ「経路によらず」になっていない。すなわち、（fが何であるかなんか関係なく）「z→∞の極限」が存在するという前提で「偏角の範囲」を問う、ということ自体、全くのナンセンスてか、メチャクチャてか、スカタンである。（…と思ったら、そんなことはもうNo.6に書いてあったわい。）