群数列の問題

群数列の問題の解き方を教えてください。
自然数 n に対して， √n 以下の最大の整数を an とするとき、n を n 個ずつ並べて次のような数列をつくります。
　　　　　1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…
この数列を { bn } として、さらに cn を
　　　　　cn = bn - an
で定めるときcn = 6 となる最小の n を求めよ。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/12/22 23:08

１．

n=m²～(m+1)²-1 → an=[√n]=m・・・・・①

bnであるが、bn=mとなるbnはm個ある。すると、1が１個、2が２個、
３が３個、・・・、mがm個あるから、最後のmまでのbnの個数は
　1+2+3+・・・+m=m(m+1)/2
個ある。つまり、
　n=m(m-1)/2+1～m(m+1)/2 → bn=m・・・・②

２．
したがって、an=mのとき、bn=m+6 となる同じnを求めればよい。
①と②でm → m+6とした
　n=(m+6)(m+5)/2+1～(m+6)(m+7)/2 → bn=m+6・・・・③

ものから
m²,(m+1)²-1 と　(m+6)(m+5)/2+1, (m+6)(m+7)/2 の交点の
うち、mが最小のものを選べばよい。すべて計算すればよいが、面倒
のためグラフから
　(m+1)²-1=(m+6)(m+5)/2+1 → 2m²+4m=m²+11m+32
→ m²-7m-32=0 → m=(7+√(49+4・32))/2=10.1 (負は除く)
の場合となる。
　
そこで m=11 とすると
　an=11で ①から n=121～143
　bn=11+6=17で ③から n=137～153
となる。このan,bnのnで重なるものの最小は
　n=137
となる。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2021/12/22 22:33

bは"1"が1個、"2"が2個、"3"が3個、"4"が4個、…、"r"がr個、… と並んでいるので、

　　b[n]=k
であるとすると、nは
　　数が(1個+2個+…+(k-1)個)並んだよりも後ろであって、
　　数が(1個+2個+…+k個)並んだところまで。
ということだから、
　　Σ{m=1〜(k-1)}m ＜ n ≦ Σ{m=1～k}m
すなわち
　　k(k-1)/2 ＜ n ≦ k(k+1)/2 …(1)
だということ。

　aはどうなるか。隣り合う平方数 r^2 と (r - 1)^2 の差は
　　r^2 - (r - 1)^2 = 2r + 1
だから、
　　1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3, ...
すなわち、"1"が3個、"2"が5個、"3"が7個、…、"r"が(2r + 1)個、… と並んでいる列。なので、
　　a[n]=j
であるとすると、nは
　　数が(3個+....+(2j-1)個)並んだよりも後ろであって、
　　数が(3個+....+(2j+1)個)並んだところまで。
ということだから、
　　Σ{m=1〜(j-1)}(2m+1) ＜ n ≦ Σ{m=1～j}(2m+1)
すなわち
　　( j + 1)(j - 1) ＜ n ≦ j(j + 2) …(2)
ということ。

　で、k=j + 6のときに「(1)と(2)両方の不等式を同時に満たすnが存在するようなj」の範囲を考えちゃどうでしょうか。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/12/22 19:29

任意の n に対して

√n-1 < an ≦ √n
だから, 自然数 k に対して
bn≧k
となるような n の最小値が求まればいい.