No.4ベストアンサー
- 回答日時:
>正方行列であるという縛りはかからず,どんな行列でも良いと考えていいのでしょうか?
いいです。具体例が一個あるとわかりやすいと思います。線形代数のほとんどは、連立方程式がらみです。連立方程式、
Ax=b
において、Aがn×mで、n=m かつ detA≠0 なら、A^(-1)があるので、
x=A^(-1)・b (1)
と解が決まります。しかし応用上は、n=mとは限らない時も、けっこうあります。そのような時でも、(1)の形に解が書けたら便利だよなぁ~、というのが、たぶん事の発端です。
n>mとします。この場合 x の次元はmで、bの次元はnとなり、条件過多になります。
このような場合、とんでもない幸運により、解 x が存在する時もありますが、存在しない時の方が普通です。しかし応用上は、なんらかの近似解は必要になります。そこで残差ノルム最小条件、
|b-Ax|^2=最小
をたいてい使います。これによって定まる x は一意です。具体的には、
A^T・Ax=A^T・b
と変形します(^Tは転置です)。A^T・A は、Aのランクがmならmになり、det(A^T・A)≠0 です。従って、残差ノルム最小条件下での解は、
x=(A^T・A)^(-1)・A^T・b
となり、(A^T・A)^(-1)・A^T は、n>mの時のAの一般逆行列の一種です(#2さんの最小二乗型)。
参考書ですが、#1さんの「伊理正夫,一般線形代数」は、厚くて高いけど良書です。私は、次の本を紹介します。
線形代数―行列とその標準形 (シリーズ新しい応用の数学 16) (単行本),伊理 正夫 (著), 韓 太舜 (著)
この本は、「伊理正夫,一般線形代数」より(いくらか)薄くて安くて簡単です。一般逆行列について、系統的に書かれた本は、日本語ではこれくらいだろうと思います。
この回答へのお礼
お礼日時:2008/04/30 19:18
詳細な回答ありがとうございます。
疑問点は理解できました。
しかし,線形代数の基礎がまだ不十分だと感じたので,オススメされた
参考書を購入しようと思います。
まずは,「伊理正夫,一般線形代数」から・・・。
No.2
- 回答日時:
「一般化逆行列」?、普通「一般逆行列」と訳さないだろうか?
私のお薦めは、これ。
http://bookweb.kinokuniya.co.jp/guest/cgi-bin/ws …
行列Aに対してABA=Aが成立するようなBを、Aの一般逆行列と言う。
Aがn行m列の行列ならば、積ABAが定義できるように
Bはm行n列でなければならない。
このようなBは、任意のA(正方行列でなくても)に対して存在する。
それどころか、任意のAに対して複数存在するので、どの一般逆行列の話だか
条件を付加して指定しなければわからない。よく話題に上るものに、
反射型一般逆行列、最小二乗型一般逆行列、ムーア・ペンローズ型一般逆行列
などがある。他にも様々ある。それぞれの定義は、上掲の参考書を参照されたい。
Aが正方行列で、しかも正則(逆行列が存在する)な場合には、
逆行列が唯一の一般逆行列となる。
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