出産前後の痔にはご注意!

小学生にメとロノームの上のおもりを下げるとどうしてふれが速くなるのか聞かれて困っています。
下にもおもりがあるので、上のおもりを下げれば重心が軸から遠くになるのは分かるのですが、
それで何で速くなるか分かりません。いろいろ検索していたら、
「剛体振り子だと回転軸から重心が近い方が周期が長くなる」と書いてありますが、どうしてですか?
子供でも理解できるように説明できる方はいませんか? よろしくお願いします。

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A 回答 (18件中11~18件)

シーソーとのアナロジーで、その小学生にわかってもらえないでしょうか?



メトロノームの傾いた針(?)が元へ戻るのは、それに付けてあるおもりの重さ(それに働く地球の引力、重力)が元へ戻すように働くから。おもりは上と下にあり、そのふたつのおもりに働く重力は、互いにメトロノームを逆向きに回転させようとする。シーソーに似ている。もちろん下のおもりに働く力(の効果、モーメント)が勝つので、傾いた針は元に戻る。いま、上のおもりを下げると、回転軸からの距離が小さくなるので、シーソーの場合と同様に、上のおもりに働く重力の効果(モーメント)が小さくなり、そのため、下のおもりにはたらく力が勝つ度合いが大きくなって、早く元に戻る。

重心については、とりあえず、触れなくてよいのではないでしょうか。慣性モーメントについても同様です。(これも、力のモーメントと同様に、周期を短くするように変化しますが。)
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この回答へのお礼

ありがとうございます。感覚的には非常によく分かります。ふり子の問題で出ているので解決してないみたいなんですが、なんかそんな気もします。

お礼日時:2008/08/15 17:11

補足です。


「剛体振り子だと回転軸から重心が近い方が周期が長くなる」
に対してみなさん疑問をお持ちのようですが,これ自体は
まちがっているとはいえません。もちろん条件によりますが,
メトロノームの場合,下のおもりのために重心はもともと
軸の近くにありますが,上のおもりをあげるほど重心はさらに
軸に近くなります。それで周期はちゃんと長くなることは
剛体の回転の運動方程式を書けば,その意味がわかるはずです。
ただし,これ以上の議論は質問者の期待するところでは
ありませんからこれまでとしましょう。
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>「剛体振り子だと回転軸から重心が近い方が周期が長くなる」と書いてありますが、どうしてですか?



 剛体を回転させるには、慣性モーメントに対してトルクを加えてやる必要があります。剛体振り子では、重心にかかる重力が支点のまわりに回転させるトルクとして働きます。
 回転軸と重心が近いと、トルクが小さいので、回転させる働きも小さくなり、スピードが上がりませんので、振り子の周期が長くなります。

 極端な場合を考えるとわかりやすいと思います。重心と回転軸が一致していると、回転は起こらず、周期は無限大ですね。

 計算は、例えば次のページなんかにもあります。

http://www.geocities.com/Tokyo/Gulf/7320/buturi/ …


 ただ、小学生のお子さんに説明するには、こんな計算は無理ですので、実験で示すといいのではないでしょうか。

 厚紙を細長く切り、適当なところに穴を開けて、ボールペンの先などを穴に通し、実際に振らせてみれば、重心に近いところの穴であれば、周期が長い、ということがわかると思います。
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おもりが下にある場合と上にある場合とで,おもりの


運動がどう変わるかを考えて見ましょう。同じ角度で
比較するとおもりが受ける力はほぼ同じですから加速度
(速さが変わる割合)はほぼ同じです。しかし,おもりが
上にあるときのほうが同じ角度を描くのに,長い道のり
を動かなければなりません。結果的に時間がより長く
かかることになるのです。
単純な振り子の場合の考察が下記にありますので参考まで。

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …
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普通の糸の端におもりを取り付けた振り子と同じだと考えればいいでしょう。


剛体であるという事にこだわる必要はありません。
逆さまにすることが出来るというところに剛体であるということが効いてきています。
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>「剛体振り子だと回転軸から重心が近い方が周期が長くなる」



この意味は、ちょっとわかりません。
振り子の重心が回転中心軸から遠くなる(振り子の長さが長くなる)と周期は長くなります。小学生に難しい理屈はいりません。実験してみせましょう。すぐにわかります。

>下にもおもりがあるので、上のおもりを下げれば重心が軸から遠くになる

逆です。下のおもりは動きません。上のおもりを下げれれば、中心軸に近づくので2つのおもりの総合の重心位置は近くなります。

下にあるおもりは、メトロノームの振り子の周期を短くするために重心位置は回転軸に近いところにを持って来ています。

振り子の周期を長くするには、重心位置を中心軸から遠くにすればよいわけです。

新しいおもりを加え動かす方向が、下にある重りの方向(軸より下)と一致させる方法と、反対方向(軸より上)にする方法とがあります。
上にすると、おもりの移動距離の割に周期の変化率が大きくなるので、そう作られています。

>メとロノームの上のおもりを下げるとどうしてふれが速くなるのか

これも、理屈より実験しましょう。
野球のバット(類似のもの)の太い(重たい)方を上にして反対の端の部分を握って、メトロノームのように左右に回してみてください。重心位置はこのときは回転軸から遠く離れていますので、とても重くて早く動かせません。
短く持つと、軽くて早く動かせるのがわかります。

>上のおもりが上がれば距離が近くなってしまうので、おそくなるのと反対になってしまい、説明に窮しているところなんです。

「剛体振り子だと回転軸から重心が近い方が周期が長くなる」は間違い。「遠いい方が周期が長くなる」が正解です。そうすれば、すべて説明できます。そうです、あなたが普通に考えている通りです。
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振り子の周期は,ひもの長さの平方根に比例しますので,重心から遠いほどゆっくりと動きます。



>「剛体振り子だと回転軸から重心が近い方が周期が長くなる」

これはWikipediaのメトロノームの記述ですね。これは間違っていると思います。実際にメトロノームでは,おもりを下げると速くなるでしょう。つまり重心に近い方が周期が短くなるわけです。

さて単振り子という難しい話は置いておいて,仮想実験としては,No.1さんと同じでよいと思います。ただし遠心力があるから,という説明は将来に誤解を招く恐れがあります。

2本のロープがあると考えましょう。1本は短いロープ,もう一本はとても長いロープです。どちらにも同じようにボールを付けて,「同じ力」で動かしてみましょう。ここで肝心なのは,「同じ力」というところです。短いロープに結んだボールの方が速く動くことが想像できると思います。実際に実験していみたかったら(自由研究にいいかも!),ぶら下げるタイプの単振り子を作ってみるとよいと思います。長さが違う紐に結んだボールがどのくらいの時間でいったりきたりするかを測るのです。1回の往復では正確に測りにくいですから,例えば10回往復する時間を測ってみてください。ぶら下げた場合の「同じ力」とは地球の重力のことです。重力は(ほぼ)同じと考えられるからです。

ここまできたら,重さの違う重りをぶら下げて10回往復する時間がどう変わるかを見てみると面白いですよ。重さが違っても同じ時間で動くことが分かるからです。つまり振り子の周期は重さに依存しないのです!
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ちょっと本来の理屈とずれてしまうかも知れませんが、遠心力が働くからといってみてはどうでしょうか。

ボールをロープなどに巻き付けてそれをグルグル振り回させます。じぶんからの距離が遠くなればなるほど重くなってまわしずらくなり、スピードもおちてくるはずです。だからこれと同じようにメトロノームのおもりも遠くに行くと遅くなるんだよ、と説明してみてはどうでしょう?
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この回答へのお礼

こんなにすぐに回答いただきまして、ありがとうございます。
遠心力で説明していところなんですが、メトロノームの下の
おもりのせいで、重心が軸よりも下にあることは分かっているので、
上のおもりが上がれば距離が近くなってしまうので、おそくなるのと
反対になってしまい、説明に窮しているところなんです。

お礼日時:2008/08/15 04:40

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から、普通に
周期T=2π√(I/Mgh)
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T=2π/ωと、ω=(θの微分)を用いるのはわかるんですけど・・・。

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これはθに関する微分方程式を解かなければいけません。
すなわち
dθ^2/dt^2 = -Aθ
(A=Mgh/I)
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代わりに、方程式から周期を求める簡易な方法を紹介します。

θはtの三角関数になることは、わかっているものとします。

そうすると
θ = a・sin(ωt+c)
tで一回微分すると
dθ/dt = ab・cos(ωt+c)
もう1回tで微分すると
I = dθ^2/dt^2 = -a・ω^2・sin(ωt+c)

これらを当初の方程式に代入すれば
-a・ω^2・sin(ωt+c) = -A・a・sin(ωt+c)
よって
ω=√A=√(Mgh/I)
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Aベストアンサー

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よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

地球の傾きについては無視してもそんなに問題ありません。おおめにみれば傾いていないと思ってください。

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慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

で求まります。実際にやってみます。
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=π(2rdr+dr^2) (5)

となるんですが、drはめっちゃ小さいんで2乗の項は無視します。
dA=2πrdr (6)

ですね。この式(6)を式(3)に代入します。
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になります。
ここで、円盤の質量mは次式で与えられます。
m=πρR^2 (10)

式(10)を式(9)に代入すれば出来上がりです♪
J=(mR^2)/2 (11)

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dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

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Q金属、半導体の抵抗の温度変化について

金属は温度が高くなると抵抗が大きくなり、半導体は温度が高くなると抵抗が小さくなるということで、理論的にどうしてそうなるのでしょうか。
金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?
半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。
あと自分で調べていたところ「バンド理論」というのを目にしました。
関係があるようでしたらこれも教えて頂くとありがたいです。

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?

だいたい合っています。
金属については、温度が上がると正イオン(自由電子が引っこ抜かれた残りの原子)の振動が激しくなるので、自由電子が正イオンに散乱されます(進路を乱されます)。
それをマクロで見たとき、電気抵抗の上昇という形で現れます。

>>>半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。

半導体の中において金属の自由電子に相当するものは、電子とホールです。この2つは電流を担う粒子ですので、「キャリア」(運ぶ人)と言います。
ホールは、半導体物理学においてプラスの電子のように扱われますが、その実体は、電子が欠けた場所のことを表す「穴」のことであって、おとぎ話の登場人物です。
電子の濃度とホールの濃度に違いがあったとしても、一定の温度においては、両者の濃度の積は一定です。
これは、水溶液において、H+ と OH- の濃度の積が一定(10^(-14)mol^2/L^2)であるのと実は同じことなのです。

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キャリアが増えるので、電流は流れやすくなります。

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