慣性モーメントについて

慣性モーメントについて教えてください。
平行軸の定理を使わない方法でお願いします。

①半円の重心を通って面に垂直な軸のまわりの慣性モーメント

②三角形の重心を通って面に垂直な軸のまわりの慣性モーメント。

できるだけ急ぎでよろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/01/10 15:12

No.1&2 です。

少しは復習して理解したかな？

① 重心位置の求め方は高校レベルなので省略。図でいえば (0, [4/(3パイ)]a ) です。

これで、元の円の中心を原点とする極座標の (r, θ) 位置の極小部分 r～r+dr, θ～θ+dθ を考えると、この部分の面積は
　dS = rdθdr
と書けますね？　円板の面密度を ρ とすれば、質量は
　dm = ρ*dS = ρ*rdθdr
重心からの距離を L とすると
　L = √{ (r*cosθ)^2 + (r*sinθ - [4/(3パイ)]a)^2 }
　　= √{ r^2*cos^2(θ) + r^2 *sin^2(θ) - [8/(3パイ)]ar*sinθ + [4/(3パイ)]^2 a^2 }
　　= √{ r^2 - [8/(3パイ)]ar*sinθ + [4/(3パイ)]^2 a^2 }
従って、この小部分を質点とみなしたときの重心周りの慣性モーメントは
　dI = (dm) * L^2 = { r^2 - [8/(3パイ)]ar*sinθ + [4/(3パイ)]^2 a^2 }ρ*rdθdr　　　①

これを r：0→a, θ：0→パイで積分すれば、半円全体の慣性モーメントが求まります。

①をまず θ：0→パイで積分すれば、
　ρ*rdr{ (r^2 + [4/(3パイ)]^2 a^2)∫[0→パイ]dθ - [8/(3パイ)]ar*∫[0→パイ]sinθdθ }
= ρ*rdr{ (r^2 + [4/(3パイ)]^2 a^2)パイ - [8/(3パイ)]ar*[ -cosθ ][0→パイ] }
= ρ*rdr{ (r^2 パイ + [16/(9パイ)]a^2) - [16/(3パイ)]ar
= ρ*{ パイr^3 - [16/(3パイ)]ar^2 + [16/(9パイ)]a^2 r }dr

これを r： 0→a で積分すれば
　I = ρ*∫[0→a]{ パイr^3 - [16/(3パイ)]ar^2 + [16/(9パイ)]a^2 r }dr
　　= ρ*[ (パイ/4)r^4 - [16/(9パイ)]ar^3 + [8/(9パイ)]a^2 r^2 ][0→a]
　　= ρ*[ (パイ/4)a^4 - [16/(9パイ)]a^4 + [8/(9パイ)]a^4 ]
　　= ρ*[ (パイ/4 - 8/(9パイ) ]a^4

これは、これを平行軸の定理で「d = [4/(3パイ)]a」だけ移動すると元の円の中心まわりの半円の慣性モーメント
　Ic = (1/2)(ρパイa^2 /2)a^2 = (1/4)ρパイa^4
になることから
　Ic = I + (ρパイa^2 /2)*{ [4/(3パイ)]a }^2 = I + 8ρa^4 /(9パイ)
より
　I = (1/4)ρパイa^4 - 8ρa^4 /(9パイ)
　　= ρ*[ パイ/4 - 8/(9パイ) ]a^4
となって上の結果と一致します。
計算は「平行軸の定理」を使った方が圧倒的に簡単です。


②は、やってみようと思いましたが、三角形の条件がよく分かりません。
左下の角を原点として、頂点の座標が (a, h) とすると、底辺の長さは？
まずは重心の位置が定まりません。

この回答へのお礼

ありがとうございました、何とかできました。

お礼日時：2019/01/16 16:31

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/01/12 09:02

積分の中で平行軸の定理の証明と同じことやっちゃだめ

という縛りだと、解析的に解くのは無理にー票。

陽に使わなきゃ良いなら平行軸の定理を積分の中に織り込んで
お仕舞いだけど、それは単なる書き換えで時間の無駄だと思う。

「使わない方法」の正確な意味は?

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2019/01/10 00:55

No.1です。

もう少しヒントを。

②では、三角形を x 方向に dx ずつ区切って「短冊」状にして、各短冊の x 座標に対応する「y座標の区間」を x の関数として表して、まずは「x ～ x+dx」の短冊の慣性モーメントを求め、それを x:0→a で積分するようなやり方が一番簡単かな。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/01/10 00:47

もう一つの質問の方にも書いたけど、慣性モーメントの基本は

(1) 「質点」の慣性モーメントを求める。これは、回転運動の「角運動量」が
　→L = →r × →p
で、
　→p = m(→v)
なので、各々が直交していれば、その「大きさ」が
　L = r * mv = r * mrω = mr^2 ω
で、これを直進運動の質量に相当する「慣性モーメント：I」を使って
　L = Iω
書くと
　I = mr^2
になる、と覚えてしまう。一種の「定義」だと思って暗記する。

(2) あらゆる形状の物体の慣性モーメントを求めるには、その物体の「微小体積 dm」と回転中心からその微小体積までの距離 r から、微小体積を「質点」とみなした慣性モーメント
　dI = r^2 dm
を記述する。dm は、その物体の全体を表わすのに都合のよい座標系を選ぶ。

(3) この微少体積を、求める物体の全体に「足し合わせる」つまり「積分する」ことで、全体の慣性モーメントを求める。

(4) 必要なら「平行軸の定理」を使う。

ということです。


①の場合も、平行軸の定理を使えば楽に求まるのですが、「使わないで」というご指定であれば、重心の座標 (0, yc) を求めて、
・原点からの距離 r ～ r+dr
・x 軸からの角度 θ ～ θ+dθ
の微小面積を考え、
・この微少部分の面積：rdθdr　→　この微少部分の質量：ρ*rdθdr （ρ：面密度）
・重心位置からこの微少部分までの距離：√[ (r*cosθ)^2 + (r*sinθ - yc)^2 ]
から、これを知ってとみなしたときの慣性モーメント
　dI = ρ*rdθdr * { √[ (r*cosθ)^2 + (r*sinθ - yc)^2 ] }^2
　　= [ (r*cosθ)^2 + (r*sinθ - yc)^2 ]ρ*rdθdr
が求まります。

これを r:0→a, θ:０→パイ で積分すれば、全体の慣性モーメントが求まります。


② 同様に、三角形上の微少部分の質量と重心位置までの距離から微少部分を質点とみなした場合の慣性モーメントを求め、それを「三角形全体」で積分してください。


いずれも、一度方針を決めれば、あとは力づくで計算するだけです。