重心を求める問題が分からなくて困っています

「x軸、x=1、y=x^2の３本の線で囲まれた形状を持つ一様な薄い板の
重心を求めよ」
という問題なんですがよく分かりません。
教科書を見ると、平面図形に対する図心の公式として
xc =∫xdA /∫dA
yc =∫ydA /∫dA
というのが載っていましたが、どのように計算すれば良いのかが
分かりません。
どなたか教えていただけませんでしょうか＞＜

No.4 回答者： htms42 回答日時： 2009/03/31 10:45

＃１です。

＃２、＃３の回答では２重積分を使っています。
たぶん戸惑っているのではないでしょうか。
高等学校で積分を習う時は区分求積から入ります。細長い長方形を足し合わせていく方法です。この長方形の面積がｄＡです。
幅がｄｘで高さがｙの長方形を足し合わせていくと面積が得られます。
Ａ＝∫ｄＡ＝∫ｙｄｘ
です。
横に細長い長方形を足し合わせていくと考えることも出来ます。その場合は
Ａ＝∫ｄＡ’＝∫(１－ｘ)ｄｙ
になります。
ｙ＝ｘ^2　という式が与えられていますからどちらの積分も出来るはずです。
厚さが一定という条件であればいつでもｄＡを長方形の面積として区分求積の考え方を使ってかまいません。

ｄＡ＝ｄｘｄｙで考えなければいけないのは厚さが一様でない場合です。場所ごとに厚さｚが変わっているばあいです。その場合は重心の式が変わってきます。分母は面積ではなくて体積に対応します。
Ｖ＝∫ｄＶ＝∫ｚｄＡ＝∫ｚｄｘｄｙ
高さｚ、底面積ｄｘｄｙの角柱を考える事になります。

長方形が並んでいると考えると重心のイメージも取りやすいです。長方形の重心は真ん中にあります。長さが異なれば質量が異なる事になります。
釣りあいやモーメントで重心を考える時の表現は
Ｘ＝(ｘ１ｍ１＋ｘ２ｍ２＋・・・)/(ｍ１＋ｍ２＋・・・)
Ｙ＝(ｙ１ｍ１＋ｙ２ｍ２＋・・・)/(ｍ１＋ｍ２＋・・・)
です。

厚みが一様ですから長方形の面積ｄＡは質量に比例します。ｍ１、ｍ２、・・・の部分がｄＡです。
位置ｘにｄＡをかけたものを加え合わせていきます。∫ｘｄＡです。
位置をｙで考える時は横に長い面積要素ｄＡ’で考える必要があります。

長方形の重心をつないだものが直線になれば全体の重心はその直線の上にあります。今の場合は直線ではなくてｙ＝(1/2)ｘ^2になりますから少しカーブしています。重心はカーブの内側にあるはずですからこのグラフよりも少し上になります。
横に長い長方形の重心をつないだ線はｙ＝(２ｘ－１)^2　になります。全体の重心はこのグラフの少し左側になります。当然ｙ＝ｘ^2よりも下側にあります。検算に使うことが出来ます。

※三角形の重心が３中線の交点になっているというのはこう考えるとでてきます。細長い長方形の重心をつないだ線が直線になるのですから全体の重心はその線上にあることが分かります。これを辺を変えて繰り返せばいい事になります。

No.3 回答者： ichiro-hot 回答日時： 2009/03/30 22:55

●　高校生で数学II・IIIで解いている(進路とは関係なしに・・・）、なのか理系大学生？（そんなわけ無いよね。

。。）、若しくは理系進学希望者で、回答が違ってくる。　数IIでやってて自分は文系，という人はモーメントとか勉強していない可能性も有るので、公式と考えるしかない。
　だけど理系なら、教科書の公式を見ているようじゃ困る。式を作る過程が自然に思い出せるぐらいでないと。数学を考える道具にしていく重要なステップだから・・・そこをサボってはいけない。『てこの原理』、『モーメント』という量がわかり、次の式が思い浮かべれば、まぁＯＫかな。でなかったら、その思考をサボってる自分を反省すること。
　∫[0，1](x-xc)・dA=0,∫[0，1](y-yc)・dA´=0
　※ｄＡ：ｘ軸方向の面積素，ｄＡ´：ｙ軸方向の面積素　と区別しました。
１）ｘｃのほうは、考えやすい。
ｘ軸上で微小区間Δｘ=[ｘ、ｘ＋Δｘ]をとって、その面積を考える。
　　ΔＡ＝底辺×高さ≒Δｘ・ｆ（ｘ），ｙ=ｆ(ｘ)=ｘ＾2だから，
　　Δｘ→ｄｘのときｄＡ＝ｆ(ｘ)・ｄｘ＝ｘ＾2・ｄｘ
　∫xdA =∫x・（ｘ＾2・ｄｘ）=∫ｘ＾3・ｄｘ，∫dA=∫（ｘ＾2・ｄｘ）
　積分範囲[0，1]でそれぞれを求めればよい。
　ｘｃ=3/4かな？

２）ｙ軸方向のほうが考えにくい。
　ｙ軸上で微小区間Δｙ=[ｙ、ｙ＋Δｙ]をとって、その面積を考える。
　　ΔＡ´＝底辺×高さ≒Δｙ・ｇ（ｙ），ｙ=ｇ(ｙ)=1-ｘ=１-√ｙだから，
　　Δｙ→ｄｙのときｄＡ´=ｇ(ｙ)・ｄｙ=（1-ｘ)・ｄｙ＝（１-√ｙ）・ｄｙ
　∫ｙdA´ =∫ｙ・｛（１-√ｙ）・ｄｙ｝，∫dA´=∫｛（１-√ｙ）・ｄｙ｝
　　同様に積分範囲[0，1]でそれぞれを求めればよい。
　　ｙｃ=3/10かな？

※積分は簡単だから自分で。計算はミスが多いから自分で確かめること。
※ｙ=ｇ(ｙ)=1-ｘ=１-√ｙのところはグラフを書いてよく考える。
※∫[0，1](x-xc)・dA=0,∫[0，1](y-yc)・dA´=0の意味（モーメントのつりあい）と、それから公式に持っていくところをちゃんと考えてみること。

No.2 回答者： fatbowler 回答日時： 2009/03/30 22:07

dA=dxdyとして、２重積分を実施すればいいのですが、順番によって

積分範囲が異なります。
(1)xから先に積分する場合
yは一旦定数と考えてxの積分を行い、後からyの積分を行います。
y=y0の走査線が問題の形状の上を移動していくところを想像して下さい。
yの範囲は0～1ですが、xの範囲はx～1となります。

(2)yから先に積分する場合
xは一旦定数と考えてyの積分を行い、後からxの積分を行います。
x=x0の走査線が問題の形状の上を移動していくところを想像して下さい。
xの範囲は0～1ですが、yの範囲は0～yとなります。

∫dA、∫xdA、∫ydAとも、(1)、(2)のうち楽な方で計算して構いません。
∫xdAは(2)、∫ydAは(1)の方が楽なのですが、まあこの程度なら
どちらでもさほど難しい計算にはなりません。

念のため1つだけ計算を示しておきます。
∫dAを(2)で計算する場合
∫dA＝∫∫dydx (y:0～y、x:0～1) ←定積分が書きにくい！
＝∫(∫dy)dx (y:0～y、x:0～1)・・・(1)
∫dy (y:0～y)
＝[y] (y:0～y)
＝y
なので、
(1)＝∫ydx (x:0～1)
＝∫x^2dx (x:0～1)
＝[x^3/3] (x:0～1)
＝1/3
あとは頑張って下さい。

No.1 回答者： htms42 回答日時： 2009/03/30 18:40

公式が載っていたところに

求め方の例もあるのではないでしょうか。
Ａは面積、ｄＡは面積要素です。
ｘ方向とｙ方向とで面積要素のとり方を変える必要があるでしょうが式にしたがって積分するだけです。
Ａ＝∫ｄＡ
ですが求めることは出来ますか。