大学院入試問題（物理の力学）

図1に示すように水平に固定された内径 R の円筒内面を,半径 r,質量 m の円板が内 面に沿ってすべることなく運動する。円板の質量中心の最下点での速さを V として, 以下の問いに答えよ。ただし,重力加速度の大きさを g とする。

1) 円板の回転軸まわりの慣性モーメントを求めよ。
(2) 最上点で円板が落下しないための,最上点での円板の質量中心の速さ v の条件を
求めよ。
(3) 上記(2)の場合の円板の最上点と最下点での力学的エネルギーを式で表し,両者の
関係を示せ。
(4) 最上点で円板が落下しないための,最下点での円板の速さ V の条件を求めよ。
(5) 最下点での速さ V が(4)の条件を満たさずに,円板が最上点に到達する前に内面
から離れる場合を考える。内面から円板が離れるときの図2に示す最下点からの 角度θを求めよ。さらに,この状況を生じる最下点での速さ V の範囲を示せ。

1~4は大丈夫ですが、5はちょっとわかりません。

5の場合は反力N≠0で、内面から円板が離れます。でもθはどうやって表したほうがいいですか？
式なかなか出ません。
以上、お願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： iresmoh 回答日時： 2016/10/19 01:02

★ご質問の項がどの項かわかりませんので、全部書くと、

　(1/2)mV^2+(1/2)*I*0^2+mg(R-r)*0=(1/2)mv^2+(1/4)mv^2+mg(R-r)(1-cosθ)

左辺は、最下点でのエネルギーの和で、
・円板重心の並進運動エネルギー・・・(1/2)mV^2
・円板の初期角速度は０とすると回転運動のエネルギー・・・(1/2)*I*0^2
　　　　（Iは慣性モーメント(1/2)mr^2）
・最下点での円板の重心（高さr）を位置エネルギーの基準として・・・mg(R-r)*0

右辺は、角度θでのエネルギーの和で、
・第１項：円板重心の運動エネルギー・・・(1/2)mv^2
・第２項：円板重心周りの回転運動のエネルギー・・・(1/2)*I*ω^2（ωは角速度）
　　ですが、(1/2)I*v^2 になると思います。
・第３項：円板重心の高さは(R-r)(1-cosθ)で、位置エネルギー・・・mg(R-r)(1-cosθ)

★垂直抗力Nは、接触力ですので、負にはなりません。
・接触している場合：N>0・・・設問(2)(4)で使います。
・離れた場合：N=0・・・設問(5)で使います。

No.1 回答者： iresmoh 回答日時： 2016/10/18 19:50

円板の円運動の運動方程式：

　N-mgcosθ=mv^2/(R-r)
内面から離れた時、N=0とすると、
　mv^2/(R-r)=-mgcosθ ・・・(1)

次に、エネルギー保存則：
　(1/2)mV^2=(1/2)mv^2+(1/4)mv^2+mg(R-r)(1-cosθ)
　（右辺第１項は、円板の円運動のエネルギー、
　　　第２項は、円板中心周りの回転運動のエネルギーを整理した）
→　(1/2)mV^2=(3/4)mv^2+mg(R-r)(1-cosθ)

(1)より、内面を離れた瞬間には、
　(1/2)mV^2=-(3/4)mg(R-r)cosθ+mg(R-r)(1-cosθ)
　(1/2)mV^2=mg(R-r){1-(7/4)cosθ}
となり、cosθがVを含む形で求まります。

さらに、(1)でv^2>0となるためには、-cosθ>0
また、円板が頂点まで到達しないならば、0<θ<π
合わせると　-1<cosθ<0　なので（θがπ/2からπまで）、
これをVの式に書き換えます。

（急いで書いたので、間違いがあるかも）

この回答へのお礼

ありがとうございました。
すみませんが、二つの質問がありますが、エネルギー保存則で最初のT1は’’1/4mV^2’’ないですか？
それでNはどうな場合に内面から離れますか？
N<0ですか？
ごめなさい、日本語が下手です。大目にみてください。
ありがとうございます。

お礼日時：2016/10/18 22:49