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この説明文で(1)式から(5)式を導出したいのですが、
その計算を教えて下さい。
粒子充填層の最上部h=H[cm]まえ液を満たした状態から、
充填層の下に設けたストップバルブを開くと、
充填層の液は徐々に脱水され、最終的(t=t∞)に
飽和液面は毛管ドレーン高さh=hd[cm]に達する。
ここで、飽和度f(h)[-]は高さh[cm]の位置の全粒子間
空隙容積に対するそこに存在する液容積の割合である。
粒子充填層単位断面積当たりの全液容積をq[cm^3cm^2]して、
飽和液面hL[cm]がH>hL>hdの条件での重力脱水速度は
-dq/dt=((hL-hd)/dL)ρgK/μ (1)
となる。ここで、H[cm]は充填層高さ、t[s]は脱水時間、
K[cm]は透過率、μ[g/(cm・s)]は液粘度である。
測定開始時t=0におけるq=qs、最終平衡時t=t∞におけるq=q∞、
また毛管ドレーン高さhdより下の液容積をqc*[cm^3/cm^2]とすると、
qs、q∞、qc*はそれぞれ(2)(3)(4)式で表される。
(ただし、q,qs,q∞は充填層全体に着目しているが、
qc*はhd以下の充填層に着目している)
qs=Hε (2)
q∞=hdε+(H-hd)εf (3)
qc*=hdε (4)
ここで、(3)式のf[-]は、飽和液面hdより上部に存在する
充填層内全空隙容積に対するその部分に残存する全液容積の割合である。
式(2)(3)(4)を用いて(1)を積分すると、
qvs.tの関係として(5)式が得られる。
qs-q+qc*(1-f)ln((qs-q∞)/(q-q∞))=(ρgK)t/μ
・・・(5)
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
参考程度まで
-dq/dt=((hL-hd)/dL)ρgK/μ (1)
q[cm^3/cm^2], ρ[g/cm^2], g[cm/s^2] とすれば、
[cm/s]=[cm][ ][g/cm^2][cm/s^2][cm][cm・s/g]
=[cm^2/s][1/cm ]
ρを面密度とすると[dL]は[cm]の単位ですね。
残量を高さに換算したものと考えることができますので、
ρを面密度で[dL]を残量高としてやってみましょう。
-dq/dt=((hL-hd)/dL)ρgK/μ
((hL-hd)/dL)を変形しましょう。
((hL-hd)/dL)=((hLε-hdε)/dLε
(2)(3)(4)の条件で
qs=Hε (2)
q∞=hdε+(H-hd)εf (3)
=qc*+qsf-qc*f
=qsf+qc*(1-f)
qc*(1-f)=q∞-qsf ---(残量)
qc*=hdε (4)
更に、以下のように書き換えます。
((hLε-hdε)/dLε=(q-q∞)/(q∞-qsf)
=(q-q∞)/qc*(1-f)
-dq/{(q-q∞)/qc*(1-f)}=(ρgK/μ)dt
これをt=0, q=qs, t=t, q=q の範囲で積分
すると、
-∫dq/{(q-q∞)/qc*(1-f)}=∫(ρgK/μ)dt
-qc*(1-f)ln(q-q∞)|+C1=(ρgKt/μ)|
q(qs→q) t(0→t)
qc*(1-f){ln(qs-q∞)-ln(q-q∞)}+C1=(ρgKt/μ)
t=0 q=qs, t=∞ q=q∞, なので、
積分定数C1、C1=q-qs と置けば、
q-qs+qc*(1-f){ln(qs-q∞)-ln(q-q∞)}=(ρgKt/μ)
q-qs+qc*(1-f)ln{(qs-q∞)/(q-q∞)}=(ρgKt/μ)
が導出できますね。
参考程度ですね。
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