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2変数以上の多項式を因数分解するとき、最も低い次数の文字について整理して、その1変数についての多項式と見ると習います。

どうしてなのでしょうか?

最も低い次数の文字について整理してもうまく因数分解できないけど、別の文字について整理すると、うまく因数分解できる例ってあるのでしょうか?

それとも、最も低い次数の文字について整理してうまく因数分解できなかったら、別の文字について整理してもうまく因数分解できないのでしょうか?

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A 回答 (7件)

次数の低い文字についての多項式と考えると、係数の個数が少なくなるからです。



n文字の多項式を、ひとつの文字の多項式と捉えると、その係数は、それぞれ
n-1文字の多項式でできています。最初の「ひとつの文字」についてm次式
であったとすれば、n-1文字の多項式がm個あることになります。
最終目標は、もとの式を因数分解することですから、このm個の多項式から、
共通因数を括り出すことになります。
そのためには、m個の多項式の最大公約数を求める。
mが小さいほうが、楽ですね。
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>たすきがけで、(3a+x^2 + 2x)*(3a + x^2 -3x)としたほうが簡単と思うのですが。



定数項が2次×2次になる理由を考えてる暇があったら(3次×1次になぜならないか)その変形のほうが簡単。。。。と、思うけどね、まぁ慣れの問題かな?

私が言いたいことは、例外のない規則(勿論、これは規則ではないが)はない、という事。。。。笑
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>はどうやって因数分解するのですか?



(x^4+6ax^2+9a^2)-x(x^2+3a)-6x^2=(x^2+3a)^2-x(x^2+3a)-6x^2=(x^2+3a+2x)*(x^2+3a-3x)

aにそろえると、9a^2-3x*(1-2x)*a+x^2*(x-3)*(x+2)。
さて、これからどうする?
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この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
その因数分解は分かりました。
でも、それはとても巧妙で、自然な発想ではない気がするのです。
次数の低いaにそろえて、
9a^2-3x*(1-2x)*a+x^2*(x-3)*(x+2)
とし、たすきがけで、
(3a+x^2 + 2x)*(3a + x^2 -3x)
としたほうが簡単と思うのですが。

お礼日時:2008/09/23 20:09

>最も低い次数の文字について整理してもうまく因数分解できないけど、別の文字について整理すると、うまく因数分解できる例ってあるのでしょうか?



そんなもの作ろうと思えば、作れるだろう。。。。。笑

x^4-x^3+6*(a-1)x^2-3ax+9a^2を因数分解せよ。
xにそろえた方が余程簡単。aなら面倒だよ。
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この回答へのお礼

x^4-x^3+6*(a-1)x^2-3ax+9a^2
はどうやって因数分解するのですか?
なにかの入力間違いではないでしょうか?

お礼日時:2008/09/23 18:54

>なぜ、2変数以上の多項式を因数分解するとき、最も低い次数の文字について整理するの?



「次数の高い文字で整理しても、共通因数が見つかりにくい」ということでしょう。

a^3 + ab + bc + c^3

のような場合、例えば a で整理しようとしても、a(a^2 + b) + …… のように ( ) の中にまだ a が残っているので、うまく共通因数が出てきません。
 b で整理すると ( a + c ) という、b を含まない共通因数が出てきますね。


>最も低い次数の文字について整理してもうまく因数分解できないけど、別の文字について整理すると、うまく因数分解できる例ってあるのでしょうか?

 あるのかも知れませんが、私は出会ったことがありません。
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普通、「次数が小さい文字について整理する」



というのは、決まりというわけではないのですが、次数が小さい文字について整理すると上手くいくことが多いんです。もし、多変数の式を因数分解するとき、まず最初に最も次数が小さい文字について整理してみます。もし、それで駄目だったら異なる方法を考えます。

でも「最も低い次数の文字について整理してもうまく因数分解できないけど、別の文字について整理すると、うまく因数分解できる例」は、私の経験から、見たことはないですね。
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整理した結果、2次式になったら因数分解の方法もいくつかあるのでやり易いからです。

ところが5次式だったりすると、公式のようなものは無いので、式をにらめっこしつつ見つけるしかありません。

もちろん低次の文字からやればうまくいく可能性が高いというだけで、これでダメなら高次の文字で考えます。
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Q因数分解(次数の低い文字に着目して整理)

整式の因数分解について、複数の文字が含まれる整式を因数分解するコツとして、多くの参考書に「次数の低い文字について整理してみる」と助言されていると思いますが、次数の低い文字について整理する本質的な理由はなんでしょうか?

例えば、x^2 +xy +x +2y -2 の因数分解を考えてみます。

①次数の低いyについて整理すると
 (x+2)y+x^2+x-2 ・・・yについての1次式、係数がxの2次式
=(x+2)y+(x+2)(x-1) ・・・偶然に(出題者の意図どおり?)共通因数(x+2)が現れる
=(x+2)(y+x-1)

②次数の高いxについて整理すると
 x^2+(y+1)x+2y-2 ・・・xについての2次式、係数がyの1次式
=x^2+(y+1)x+2(y-1)
=(x+2)(x+y-1)

とりあえず、どちらで整理しても因数分解できました。
この2者において本質的に何が違うのでしょうか?

または、次数が低い文字について整理した方がよいことがわかる
具体例があれば教えてください。

Aベストアンサー

次数が低いと計算が簡単ではないですか。例の2次式では2次式についての知識を知っていなければならないでしょう。

Q因数分解って何に役立つの?

高校1年になった娘に付き合って20年ぶりに因数分解の問題を解いてみました。なんだかパズルをやっているようで意外と楽しかったのですが、因数分解や展開って、何かの役に立つのでしょうか?
こんな計算に使うと簡単に出来るよ、とかこういう数字を求めるときに使うものだ、とかありますか?
他にもいろいろな数学の公式とかがありますが、これらが実際何を求めるときに使うものかが知りたいです。

Aベストアンサー

いろいろな考え方があると思いますが・・・

因数分解や展開は、日常生活で簡単な暗算するのに使ったりしますね。No6さんに似てますが。

月収16万だったら年に・・・?とか思ったら、
12×16=(14+2)(14-2)=196-4=192 万かぁ、とか。
上の例は和と差の積の公式ですね。
私は1~20くらいの二乗の数は記憶しているので上のような計算が楽なのですが。

普通の掛け算の筆算も、展開を応用したものですよ。

456×789 = 456×(700+80+9)
 =456×700+456×80+456×9

    456
  × 789
-------
   4104
  36480
 319200
-------
  359784


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