なぜ、2変数以上の多項式を因数分解するとき、最も低い次数の文字について整理するの？

2変数以上の多項式を因数分解するとき、最も低い次数の文字について整理して、その1変数についての多項式と見ると習います。

どうしてなのでしょうか？

最も低い次数の文字について整理してもうまく因数分解できないけど、別の文字について整理すると、うまく因数分解できる例ってあるのでしょうか？

それとも、最も低い次数の文字について整理してうまく因数分解できなかったら、別の文字について整理してもうまく因数分解できないのでしょうか？

No.7 ベストアンサー 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/09/24 22:48

次数の低い文字についての多項式と考えると、係数の個数が少なくなるからです。

ｎ文字の多項式を、ひとつの文字の多項式と捉えると、その係数は、それぞれ
ｎ－１文字の多項式でできています。最初の「ひとつの文字」についてｍ次式
であったとすれば、ｎ－１文字の多項式がｍ個あることになります。
最終目標は、もとの式を因数分解することですから、このｍ個の多項式から、
共通因数を括り出すことになります。
そのためには、ｍ個の多項式の最大公約数を求める。
ｍが小さいほうが、楽ですね。

No.6 回答者： take_5 回答日時： 2008/09/23 20:28

＞たすきがけで、（3a＋x^2 + 2x）*（3a + x^2 -3x）としたほうが簡単と思うのですが。

定数項が2次×2次になる理由を考えてる暇があったら（3次×1次になぜならないか）その変形のほうが簡単。。。。と、思うけどね、まぁ慣れの問題かな？

私が言いたいことは、例外のない規則（勿論、これは規則ではないが）はない、という事。。。。笑

No.5 回答者： take_5 回答日時： 2008/09/23 19:11

＞はどうやって因数分解するのですか？

（x＾4＋6ax＾2＋9a＾2）－x（x＾2＋3a）-6x＾2＝（x＾2＋3a）＾2－x（x＾2＋3a）-6x＾2＝（x＾2＋3a＋2x）*（x＾2＋3a-3x）

aにそろえると、9a＾2－3x*（1-2x）*a＋x＾2*（x-3）*（x+2）。
さて、これからどうする？

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
その因数分解は分かりました。
でも、それはとても巧妙で、自然な発想ではない気がするのです。
次数の低いaにそろえて、
9a＾2－3x*（1-2x）*a＋x＾2*（x-3）*（x+2）
とし、たすきがけで、
（3a＋x^2 + 2x）*（3a + x^2 -3x）
としたほうが簡単と思うのですが。

お礼日時：2008/09/23 20:09

No.4 回答者： take_5 回答日時： 2008/09/23 18:14

＞最も低い次数の文字について整理してもうまく因数分解できないけど、別の文字について整理すると、うまく因数分解できる例ってあるのでしょうか？

そんなもの作ろうと思えば、作れるだろう。。。。。笑

x＾4-x＾3＋6*（a-1）x＾2-3ax+9a＾2を因数分解せよ。
xにそろえた方が余程簡単。aなら面倒だよ。

この回答へのお礼

x＾4-x＾3＋6*（a-1）x＾2-3ax+9a＾2
はどうやって因数分解するのですか？
なにかの入力間違いではないでしょうか?

お礼日時：2008/09/23 18:54

No.3 回答者： BookerL 回答日時： 2008/09/23 17:08

＞なぜ、2変数以上の多項式を因数分解するとき、最も低い次数の文字について整理するの？

「次数の高い文字で整理しても、共通因数が見つかりにくい」ということでしょう。

a^3 + ab + bc + c^3

のような場合、例えば a で整理しようとしても、a(a^2 + b) + …… のように (　) の中にまだ a が残っているので、うまく共通因数が出てきません。
　b で整理すると ( a + c ) という、ｂ を含まない共通因数が出てきますね。


＞最も低い次数の文字について整理してもうまく因数分解できないけど、別の文字について整理すると、うまく因数分解できる例ってあるのでしょうか？

　あるのかも知れませんが、私は出会ったことがありません。

No.2 回答者： sho_sho- 回答日時： 2008/09/23 13:27

普通、「次数が小さい文字について整理する」

というのは、決まりというわけではないのですが、次数が小さい文字について整理すると上手くいくことが多いんです。もし、多変数の式を因数分解するとき、まず最初に最も次数が小さい文字について整理してみます。もし、それで駄目だったら異なる方法を考えます。

でも「最も低い次数の文字について整理してもうまく因数分解できないけど、別の文字について整理すると、うまく因数分解できる例」は、私の経験から、見たことはないですね。

No.1 回答者： MtGenkotsu 回答日時： 2008/09/23 10:24

整理した結果、２次式になったら因数分解の方法もいくつかあるのでやり易いからです。

ところが５次式だったりすると、公式のようなものは無いので、式をにらめっこしつつ見つけるしかありません。

もちろん低次の文字からやればうまくいく可能性が高いというだけで、これでダメなら高次の文字で考えます。