No.1ベストアンサー
- 回答日時:
おそらくこんな感じでいいのではないかと。
f(x)=Σ{(-1)^n・exp(-nx)} と置く。
すると
f(x)=1-exp(-x)+exp(-2x)-exp(-3x}+ … (1)
これの両辺にexp(-x)をかけると
exp(-x)・f(x)= exp(-x)-exp(-2x)+exp(-3x)-exp(-4x)+ … (2)
となる。
(1)+(2)を計算すると
(1+exp(-x))・f(x)=1 (なぜなら(1),(2)ともに…以下無限に続く) (3)
ここでx=0ではないとすると、(1+exp(-x))=0ではない
よって(3)の両辺を(1+exp(-x))で割ると
1/{1+exp(-x)}=f(x)
(1)を代入して
1/{1+exp(-x)}=Σ{(-1)^n・exp(-nx)} □
という感じですね。
あ!なるほど!その手がありましたね~!
ありがとうございます~♪バッチリです☆
ん?もしかしてkaku-houkouさんは,初回答ですか?
とっても助かりました。これからもよろしくお願いします。
No.2
- 回答日時:
参考程度まで
1/(1+z) は(|z|<1)でテーラ展開できます。
1/(1+z)=1-z+z^2-z^3+・・・・+(-1)^nz^n+・・
Z=exp(-x), x>0 と置けば、(|z|<1)だから、
1/(1+z)=Σ{(-1)^n・z^n} =Σ{(-1)^n・{exp(-x)}^n}
=Σ{(-1)^n・exp(-nx)}
になります。
なるほど~。1/(1+z) から展開するという手もありますね。
やっぱり,結構簡単に誘導できるんですね。
でも,ぼくにとってはコロンブスの卵です。
この方法は,他のケースにも応用できそうなのでとても参考になります。
ありがとうございました。
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