五捨五入（偶捨奇入）の数学的意義と四捨五入との関係

四捨五入は、端数が0.5のとき常に増える方向に丸められるため、わずかに正のバイアスがある。そのときは、五捨五入が「望ましい」とされている。
バイアスがないのが特徴である（データがランダムなら）。このため、多数足し合わせても丸め誤差が累積しない。

ということが書かれてあったのですが、データの数学的意味がわかりません。四捨五入と五捨五入のそれぞれにデータによる意味合い（定義ではない）とか役立ち方の違いがあると思うのですが、その違いはどういうことなのでしょうか？

また、五捨五入とは、小数点以下の端数処理を行うとき、小数点以下の値が　０．５０　ピッタリの時、一番距離の近い偶数に丸めるということなのですが、それをガウス記号(floor関数)で書くとどうなるのでしょうか？
ちなみにrの小数点以下の四捨五入は、[r+0.5]

No.2 ベストアンサー 回答者： kikancho24 回答日時： 2008/12/02 20:12

ぐうしゃきにゅう、とゆう、ことばは、

はじめて見ました。
偶数丸め、とゆうやつだと思います。
ぼくの想像では、
統計作ったときに、へんに数字が偏らない
ためにやるんだと、思います。
それと、５の下の数があったら、
まず、やる必要ないと、思う。
これも、想像。
そのケツ５は、４９から来てる、
５かもしれないからです。
５４かもしれん。

結局わからないときの、方便ではないかと。

この回答へのお礼

僕の考えでは、
小数第一位までしか計れないデータがあったとき、たとえば、
0.0、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9
で、0.0は正しいデータ0.0＝0と考え、
0.1＝0、0.2＝0、0.3＝0、0.4＝0、
0.6＝1、0.7＝1、0.8＝1、0.9＝1
に変更したとき、0.5は中間なので、切り上げと切り下げを場合分けする必要があるのではと思います。
もし、小数第何位でも計れるデータであれば、普通の四捨五入でOKと思います。

お礼日時：2009/03/23 01:49

No.1 回答者： noname#97621 回答日時： 2008/12/01 23:23

例えば，1.0，1.1，‥，2.8，2.9の20個の要素を，それぞれ小数点以下の処理を

行った後に加算することで考えてみます。

小数点以下の処理を行わない真値では，39になります。
四捨五入を行った後に加算すると40になります。これが正のバイアスです。
五捨五入（偶捨奇入）というのは，偶数番目の0.5は切捨て，
奇数番目の0.5は切上げで処理を行います。
したがって，五捨五入を行った後に加算すると39になり，真値と等しくなります。

処理する要素の値が均等分布で，かつ大量にある場合，より五捨五入のほうが
真値に近くなると考えられます。

数学というよりコンピュータ屋の考え方だと思っています。
お金の勘定で端数をより正確に捉えたいときに用いたものではないかと
思います。

五捨五入は偶数番目か奇数番目かの判断が必要になりますのでガウス記号だけで
書くことはできません。