A 回答 (7件)
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No.7
- 回答日時:
G2を有理数全体の加法群,G1を正有理数全体の乗法群とするとG1とG2は同型でないの証明
f:G2→G1を同型写像と仮定するとf(1)は正有理数だから
f(1)=a/b,aとbは互いに素な自然数が存在する。
a=Πa_i^{k(i)}をaの素因子分解(a_iはaの素因数,k(i)はa_iの冪)とする
n>max{k(i)} aの素因数の冪の最大値より大きい自然数nが存在する
f(1/n)=c/d,cとdは互いに素な自然数が存在する
c=Πc_iをcの素因子分解とする。
a/b=f(1)=f(n*(1/n))=f(1/n)^n=c^n/d^nとなるからad^n=bc^nとなる
c^nはad^nの約数c^nとd^nは互いに素だからc^nはaの約数となる
c_j=a_iとなるa_iがありc_j^n=a_i^n≦a_i^{k(i)}となりn>max{k(i)}に矛盾するから
f:G2→G1同型写像は存在しない
G1とG2は同型でない
No.6
- 回答日時:
厳密にいえば「存在するとは必ずしもいえません」では不足で「うまい a に対しては存在しない」ことを示さないといけないんですが>#4, それは実質的に #3 と同じになるような気がする.
ちなみに #3 では f: G2→G1 が同型写像としてるから, 確実なのは「f(0)=1」だけですな. f(1/2) = 1/2 って, どこから出てきたんだか.
で f(1) = a とでも置いて #3 のようにゴニョゴニョして, #4 の話と結びつければ OK.
No.5
- 回答日時:
>f(1)=f(1/2+1/2)=f(1/2)×f(1/2)=1/2×1/2=1/4
>f(1/2)=f(1/4+1/4)=f(1/4)×f(1/4)=1/4×1/4=1/16
>f(1/3)=f(1/6+1/6)=f(1/6)×f(1/6)=1/6×1/6=1/36
> になると思います。
1 行目で f(1/2) = 1/2 としながら、2 行目で f(1/2) = 1/16 これ何如に。
そもそも私はヒントを出したつもりなので、そのまま回答されても困る。
No.4
- 回答日時:
任意の a∈G2 について b+b = a を満たす b が G2 に存在します。
これに対して、a∈G1 について b*b = a を満たす b が G1 に存在するとは必ずしもいえません。これは代数構造が異なるということでしょう。
もしや、先の回答とかぶっているのか?
No.1
- 回答日時:
有理数全体は、乗法に関して群をなしません。
G1 は、「0 を除く有理数が乗法に関してなす群」の間違いでしょう。
ヒント: 有限部分群の有無で区別しては、どうですか?
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