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線形空間Vの元xに対して、(V*)* (Vの双対空間の双対空間) の元Txを
Tx(f)=f(x) (fはV*の元) で定義する。
このとき、写像 x→Tx は線形同型写像である事を証明せよ。
(Vはもちろん有限次元と仮定している。無限次元では正しくない。)
という問題で、まず線形写像である事を示そうと思い、
Vの元からx,y 体Kからcを持ってきて、fは定義から線形写像だから
f(x+y)=f(x)+f(y),f(cx)=cf(x)より、
Tx+y(f)=f(x+y)=f(x)+f(y)=Tx(f)+Ty(f)
Tcx(f)=f(cx)=cf(x)=cTx(f)
が成り立つ事から、Txも線形写像である事が示せることはわかったのですが、同型写像を示す時、これはTxが全単射である事がいえればいいわけですよね。
ここから先が全く分からなくて困っています。どなたか私に知恵を授けてください。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>少し見慣れない表記でδ_{ij}があるのですが、これは何を表しているのですか?
クロネーカーのデルタ
δ_{ij} = 1 ( i = j), = 0 ( i ≠ j)
>これとは違うのですか?
おなじ
No.1
- 回答日時:
>これはTxが全単射である事がいえればいいわけですよね。
V の基底を {e_1, ..., e_n}とすると、V* の基底は{f_1, ... , f_n} ( f_i(e_j) = δ_{ij} )
回答ありがとうございます!!
基底を用いて全単射を示すわけですね!
少し見慣れない表記でδ_{ij}があるのですが、これは何を表しているのですか?私が使っている教科書にはこういう表記がなくて・・・。
似たものだと
Vの元xをx=x_1e_1+,...,+x_ne_nと表したとき、定義でf_i(x)=x_iというものがあるのですが、これとは違うのですか?
是非教えてください!
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