二次関数接線直交の質問（急！！）

aは実数とする。放物線　C1：y=x^2 をx軸方向3、y軸方向にaだけ平行移動して得られる曲線をC2とする。
問題：2曲線C1,C2の交点におけるC1,C2の接線が互いに直交する時のaの値。（微分を使わない回答方法を教えて下さい・・・）

No.1 回答者： owata-www 回答日時： 2009/01/08 16:27

放物線：y=ax^2+bx+cと直線：y=αx+βがx座標がtで接する時

(ax^2+bx+c)-(αx+β)=a(x-t)^2になるからそれを使っても一応はできますが…

この回答へのお礼

アドバイスありがとう御座います！
早速やってみます・・・
やはりこの類の問題は、微分を使わないといけないでしょうか？

お礼日時：2009/01/08 16:37

No.2 回答者： owata-www 回答日時： 2009/01/08 16:46

＞やはりこの類の問題は、微分を使わないといけないでしょうか？

いけないということはないでしょうが、微分すれば接線の傾きが一発で出るのでラクかと（特に接点が定まっている時は）

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/01/08 17:47

計算に自信ないが、a＝±√5。

徹頭徹尾、判別式で解ける。

交点をＰ（t、t＾2）とすると、C1の接線は軸に平行な接線は明らかにないから、　y＝m（x-t）＋t＾2.　m≠0.
これと、y=x^2が接するから判別式＝0　→　m＝2t。‥‥(1)
又、同様にして、y＝（-1/m）（x-t）＋t＾2.とy-a＝（x-3）^2 が接するから判別式＝0.‥‥(2)
C1とC2の交点が、t＾2-a＝（t-3）^2を満たすから、a＝3m-9.‥‥(3)
(2)の方程式に(1)と(2)を代入し、mの方程式とすると、相反方程式になるがm＝3±√5であるから、(3)よりa＝±√5。

やっぱり、計算が面倒。チェックして欲しい。

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/01/08 18:27

やっぱり計算ミス。

a＝±3√5

No.5 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/01/08 21:10

#3,#4さんのaの値の時は接線は直交しますが、接点が別々でC1,C2の交点と一致していませんので、正しくないようです。

接点が同一（C1とC2の交点）という条件が抜けているようですね。

C1,C2の交点P(p,p^2)：
PにおけるC1の接線l1の公式:y-p^2=2px…(A)
直交条件：C1,C2の接線の傾きm,nの積：mn=-1…(B)
m=2p…(C)
C2:y-a=(x-3)^2…(D)
PはC2上の点なので
p^2-a=(p-3)^2…(E)
C2のPにおける接線l2:
(y-a)+(p^2-a)=2(p-3)(x-3)…(F)
この傾き:n=2(p-3)…(G)
以上の式からpを求めて、aを求めれば
　a=±6√2
が出てきます。

グラフを描いて正しいことを確認済みです。
ここでは放物線の接線の公式を使いました。
忘れた場合は接する条件から判別式D=0の条件を使って接線を求めるしかないでしょう。テストなどでは時間は貴重ですので解答時間節約のためや解答チェックのため、公式(A)などは覚えておいた方がいいですね。
ついでに2次曲線（円錐曲線）の接線公式なども覚えておくといいですね。

参考URL：http://www.aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwa …

この回答へのお礼

info22へ
どうもありがとう御座いました！

お礼日時：2009/01/10 17:00

No.6 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/01/08 21:48

計算ミスの指摘には感謝。

m＝3±2√2であるから、(3)よりa＝±6√2。

No.7 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/01/08 22:00

ついでに、

(2)の方程式に(1)と(3)を代入し、mの方程式とすると、相反方程式になるが、その方程式とは、m＾4-12m＾3＋38m＾2-12m＋1＝0である事を付け加えておく。ｗ

＞（微分を使わない回答方法を教えて下さい・・・）

計算は煩いが、いろんな方法にchallengeする姿勢はいいことだよ。

No.8 回答者： carvelo 回答日時： 2009/01/09 22:53

#1さんの考え方を使った下のような方法もありますよ

放物線：y=ax^2+bx+cと直線：y=f(x)=αx+βがx座標がtで接する時
(ax^2+bx+c)-(αx+β)=a(x-t)^2
となることから、放物線は
y=a(x-t)^2+f(x)
と書けますね。したがって、放物線の方程式の右辺を(x-t)^2=x^2-2tx+t^2で割った余りがf(x)そのものであることが分かります。

今回の場合、２つの放物線の交点のx座標は
x=(a+9)/6
と求まるので、放物線の方程式
C1:y=x^2
C2:y=(x-3)^2+a=x^2-6x+(a+9)
のそれぞれの右辺を
{x-(a+9)/6}^2=x^2-{(9+a)/3}x+{(9+a)/6}^2
で割ってその余りを求めます。するとC1の接線は
y={(a+9)/3}x-{(a+9)/6}^2
C2の接線は
y={(a-9)/3}x+(a+9)-{(a+9)/6}^2
と求まります。
従って、これらが直交するとき
{(a+9)/3}{(a-9)/3}=-1
ですから、これを解いて
a=±6√2
と求まります。


＞やはりこの類の問題は、微分を使わないといけないでしょうか？

皆さんおっしゃっている通り、この類の問題では微分を使わないと計算が煩雑になりがちです。微分を使った方法には十分に慣れておきましょう。
ただ、単に接線を求めろ、と言うのであれば、式に文字が含まれていない場合などは、上で示した方法などを使った方が微分を使うより早いときもあります。