e^(2x)*sinx *は積 のテーラー展開は？

こんにちは。
　ｆ(x)＝e^(2x)・sinX　をテーラー展開して一般項を考えることをしています。
　微分していきます。
　f'(x)=2e^(2x)・sinX+e^(2x)cosX
　f^(2)=4e^(2x)・sinX+2e^(2x)・cosX+2e^(2x)・cosX-e^(2x)・sinX
となると思います。
　さて、そもそもテーラー展開とはなんぞや？ということもありますが、この先どのように解を導けばいいのか、方法だけでも、あるいは
一般項だけでも教えてください。
　よろしくお願いします。

No.3 回答者： dephands 回答日時： 2009/02/20 23:30

sinx={e^(ix)-e^(-ix)}/2i

をつかって書き換えるとできますよ。

e^(2x)sinx={e^(2x+ix)-e^(2x-ix)}/2i

e^a=Σ{a^n/n!} (for n=0,1,2,,,∞)
が任意の複素数aに対して成り立つので、まぁ、あとはできますよね。

複素数を使わないと簡単にかけませんけど、
一般項がすぐに決まると思います。
No.1さんの展開を検算につかったので、たぶんあってますよ。

この回答へのお礼

マグロウヒルの複素数の本を読んでしらべてみます。ありがとうございます。

お礼日時：2009/02/22 22:23

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2009/02/20 22:36

関数f(x)が閉区間(a,b)でn回連続微分可能ならばa≦x≦bにおいて

f(x)=sum(i=0 to n-1)[f(i回微分）(a)]×(x-a)^i/i!+Rn
という級数に展開できるというのがTaylorの定理で、f(x)をこのように(x-a)の級数に展開する、またはTaylor展開するといいます。Rnは剰余項と呼ばれ、n→∞のときRn→0のときf(x)は解析的であるといわれます。要は関数を多項式であらわして計算をできるようにしようとするものです。　
　a=0にとるとき質問者のような展開が可能です。e^xもsinxも無限回連続微分可能ですので高次の項まで計算することによって精度を上げることが可能です。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4% …

この回答へのお礼

こんにちは。ありがとうございます。NO.1さんがマクローリン展開を示してくれました。
　一般項はどこまで繰り返し微分をして考えると導けるかがわかりませんでした。
　本をみても、e^(2X)・sinxの積の一般項はなかなか掲載されていなく。

お礼日時：2009/02/20 23:03

No.1 回答者： info22 回答日時： 2009/02/20 22:25

テーラー展開は展開するxの値を指定しないと展開が出来ません。

マクローリン展開は、x=0におけるテーラー展開のことです。

どこを中心に展開するかのxの値を指定しないと問題になりません。

マクローリン展開なら
f(x)=x +2*x^2 +(11/6)*x^3 +x^4 +(41/120)*x^5 + R(x^6)
ここで、R(x^6)はx^6以上の高次の項の和です。

この回答へのお礼

お忙しい中でありがとうございます。なるほど。いましがたもネットと
微分積分の本をひっぱりだして、x=aのまわりの・・など読みました。
マクローリン展開で３乗まで求めたものと一致しました。

お礼日時：2009/02/20 22:58