微分と変微分の違いとは

微分と変微分の違いとはなんなのでしょうか？

関数が一変数だった場合が微分、二変数の場合だったら変微分になるのですか？

けれど微分しようと変微分しようと、計算結果は同じですよね？
f(x,y)=x^2+3yのとき
df/dx=2x
ラウンドdf/ラウンドdx=2x

また全微分では微分、変微分がごちゃまぜになっていますが、どういうことなのでしょうか？よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/04/13 19:44

独立変数が２つ以上の関数の微分は、偏微分になります。

偏微分は、微分する独立変数でない独立変数は定数として扱って微分を行います。

f(x,y)=x^2+3y
では、独立変数はxとyの2つですから
xの微分は偏微分になります。
xについての偏微分は
∂f(x,y)/∂x=2x
∂f(x,y)/∂x=3
となります。

全微分は
df(x,y)=(∂f(x,y)/∂x)dx+(∂f(x,y)/∂y)dy
となります。
両辺をdxで割れば
df(x,y)/dx=(∂f(x,y)/∂x)+(∂f(x,y)/∂y)(dy/dx)
両辺をdyで割れば
df(x,y)/dy=(∂f(x,y)/∂x)dx/dy+(∂f(x,y)/∂y)
という式に成りますね。

2つの独立変数の関数を片方の変数を定数と見做して、もう1つの変数で微分するのが偏微分ですね。

お分わかりになればいいですが、如何ですか？

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/04/13 19:17

まず、変微分ではなく偏微分です。

上の例ですが、そうはなりません。
なぜなら、dy/dxが0であるとは限らないからです。
f(x,y)=x^2+3yのとき
df/dx=2x+3dy/dx
となります。

要するに偏微分とは、対象となる変数以外の変数を固定化したものといえます。
これは簡単に言えば、yを固定したとき、つまりxy平面上でx軸に平行に動かしたときのf(x,y)の変化率を意味します。
y=xの直線上を移動するとき、xに対するf(x,y)の増加率を示すためにはy=xを代入してから微分する必要があります。
任意の方向に移動する場合の変化率は"全微分"で求めます。