Vを実数に係数を持つ2次以下の多項式全体が成すベクトル空間とする。すなわち、
V={a+bx+c*x^2|a、b、c∈R}
である。tを0≦t なる定数とし、線形変換T :V→V を
T(f(x))=f(1+tx)により定義する。
Vの基底1、x、x^2に関するTの表現行列を求めよ。

という問題があります。一般に、、、、
【線形写像f:R^n→R^mに対して、(m,n)型の行列Aがただひとつ定まり、
x'=f(x)=Axと表せる。(x∈R^n, x'∈R^m)
この行列Aを、線形写像fの表現行列という。】
表現行列はこのように定義されていますから、この問題の場合
t^(T(1),T(x),T(x^2))=
(1,0,0)
(1,t,0)
(1,2t,t^2)
*
t^(1,x,x^2)
となるため、求める表現行列Aは
(1,0,0)
(1,t,0)
(1,2t,t^2)
となるかと思っていたのですが、解答には、これを転置した行列が書いてありました。
(1,1,1)
(0,t,2t)
(0,0,t^2)
となっていました。
なぜこうなるのか理屈が分からないのですみませんが教えてください。

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A 回答 (3件)

転置した行列が得られたならかなりいい線いっている、というかほとんど合っていると言ってもいいんじゃないかと思います。

僕の求め方は、
f(x) = a + bx + cx^2 として、Tf(x)を計算します。すると
Tf(x) = f(1+tx)
= a + b(1+tx) + c(1+tx)^2
= a + b + tbx + c(1+2tx + t^2x^2)
= (a+b+c) + (tb + 2ct)x + t^2x^2
となるので、この線形写像Tは、(a,b,c)を
(a', b', c') = (a+b+c, tb+2ct, t^2)に移すことがわかります。ここで線形写像Tの表現行列(3×3)をAで表すとその定義から
(a') (a)
(b') = A (b)
(c') (c)
を満たします。この結果、模範回答が得られます。一方で、ベクトルを横に配置すれば
(a', b', c') = (a, b, c) A 
となるので、milkyway60さんが得たように転置した行列が得られます。

果たして、ベクトルを縦に取るのは義務なのか慣例にすぎないのかはちょっと分かりません。しかし、一般には縦に配置することが多いとは思います。というのも、普通、写像は左からかけるので、掛け算がきちんと定義されるためには縦ベクトルにする必要があるのです。

と、ここまで書いて気づいたのですが、表現行列の定義が与えられているんですね。x' = Ax というのが表現行列Aの定義と書かれているのであれば、これはやはりベクトルは縦でないと掛け算が成立しませんね。
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見にくくなっていてすみません。


(a') (a)
(b') = A (b)
(c') (c)
という部分は、
(a', b', c')^T = A (a, b, c)^T
ということです。^Tは転置。
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「基底に対する表現行列」というものの定義で混乱しているのではないですか?


「一般に、、、、」と書かれた部分は、R^n と R^m の標準的な基底に関する表現行列の定義ですね。

一般の基底に対する表現行列の定義をもう一度復習してみてください。(ここは大事なところですので是非ご自分でやってみてください。勉強になると思います。)
そうするとその解答が正しいことがおわかりになるかと思います。

その上でさらにつまづかれたら、どこまでわかってどこでつまづいたか、補足なり、新しい質問をするなりされるとよいと思います。
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Q英語で「茜色」の表現法

「茜色」の英語での表現方法を教えていただきたいです。
インターネットのスペースアルク等を使って調べたのですが、私の知りたい表現法がのっておりません。
知りたい表現法の一部は
「go red ... ... sunset」といった感じで、5つの単語だったと思うのですが、こういうフレーズで「茜色」をあらわす方法を教えてください。

Aベストアンサー

go red as burnig sunset
( 燃えるような夕焼けになる )
くらいしか思いつきません。
お力になれなくて済みません。
だれか答えを出してくれるといいですね。
失礼しました。

Q(i)spanX=V ならば x∈V,x=Σ[i=1..n](xi),(ii)x∈V,∥x∥^2=Σ[i=1..n]||^2ならばXは完

お世話になっています。

[Q]X={x1,x2,…,xn}を内積空間Vの正規直交集合とせよ。この時,次の(i),(ii)を示せ。
(i)spanX=V ならば x∈V,x=Σ[i=1..n](<x,xi>xi)
(ii)x∈V,∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2ならばXは完全

完全の定義は「正規直交集合Xが完全とはVの中での最大個数の正規直交集合の時,Xを
完全と言う」です。
つまり,#X=max{#S∈N;(V⊃)Sが正規直交集合}を意味します。

証明で行き詰まっています。

(i)については
x∈Vを採ると,spanX=Vよりx=Σ[i=1..n]cixi (c∈F (i=1,2,…,n))と表せる。
これからΣ[i=1..n](<x,xi>xi)にどうやって持ってけばいいのでしょうか?

あと,(ii)についてはさっぱりわかりません。
何か助け舟をお願い致します。

Aベストアンサー

>x=Σ[i=1..n]cixi (c∈F (i=1,2,…,n))と表せる。
<xi,x>を計算すれば終わり

>(ii)についてはさっぱりわかりません
「任意の」x∈Vに対して
∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2
ならばXは完全

x1,...,xnとは異なるyをとり,
x1,...,xn,yが正規直交であると仮定する.
||y||^2 = Σ[i=1..n]|<y,xi>|^2を計算すれば
矛盾がでてくる.

Q茜色の約束のおすすめのポイントを教えて下さい!!

茜色の約束のおすすめのポイントを教えて下さい!!

この部分がすき!とか、ここの歌詞がいい!
など何でもいいので教えて下さい!!

Aベストアンサー

全体的に良い曲なので難しいですが、
強いて言うならサビの部分のメロディと歌詞が一番好きです!

聞くと感動して、心がしんみりします。

QVをn次元内積空間とする。線形写像f:V→Vがpositive且つ≧0(∀x∈V)ならtr(f)≧0

内積空間についての命題の証明についてです。

[命題]Vをn次元内積空間とする。
線形写像f:V→Vがpositive且つ<f(x),x>≧0(∀x∈V)ならtr(f)≧0
を示しています。

fがpositiveであるの定義は<f(x),y>=<x,f(y)> (for∀x,y∈V)
tr(f)の定義はfの表現行列Aのトレース

Vの基底を{v_1,v_2,…v_n}とすると
x=Σ[i=1..n]c_iv_i
y=Σ[i=1..n]d_iv_i
(c_i,d_i∈C:複素数体 (i=1,2,…,n))
f(v_j)=Σ[i=1..n]a_ijv_i
と書け,((a_ij)=:Aをfの表現行列という)

<f(x),y>=<f(Σ[i=1..n]c_iv_i),Σ[i=1..n]d_iv_i>
=<Σ[i=1..n]c_if(v_i),Σ[i=1..n]d_iv_i>(∵fは線形写像)

<x,f(y)>=<Σ[i=1..n]c_iv_i,f(Σ[i=1..n]d_iv_i)>
=<Σ[i=1..n]c_iv_i,Σ[i=1..n]d_if(v_i)>(∵fは線形写像)

で仮定より

<Σ[i=1..n]c_if(v_i),Σ[i=1..n]d_iv_i>
=
<Σ[i=1..n]c_iv_i,Σ[i=1..n]d_if(v_i)>

と書ける。。。

からどのようにして証明してけばいいのでしょうか?

内積空間についての命題の証明についてです。

[命題]Vをn次元内積空間とする。
線形写像f:V→Vがpositive且つ<f(x),x>≧0(∀x∈V)ならtr(f)≧0
を示しています。

fがpositiveであるの定義は<f(x),y>=<x,f(y)> (for∀x,y∈V)
tr(f)の定義はfの表現行列Aのトレース

Vの基底を{v_1,v_2,…v_n}とすると
x=Σ[i=1..n]c_iv_i
y=Σ[i=1..n]d_iv_i
(c_i,d_i∈C:複素数体 (i=1,2,…,n))
f(v_j)=Σ[i=1..n]a_ijv_i
と書け,((a_ij)=:Aをfの表現行列という)

<f(x),y>=<f(Σ[i=1..n]c_iv_i),Σ[i=1..n]d_iv_i>
=<Σ[i=1..n...続きを読む

Aベストアンサー

線型写像が「positive」というのは不要?
というか・・・線型写像が``positive''ってことが
<f(x),x>≧0(∀x∈V)
ってことではないのですか?
これなら「+」という意味が分かります

<f(x),y>=<x,f(y)> (for∀x,y∈V)
だとなんで「positive」って名前なの?と疑問です.
#むしろ「transitive」(推移的)と名づけたいな

正規直交基底e1,...enをとれば
f(ei)の第i成分は表現行列{aij}の(i,i)要素aiiで
aii = (f(ei),ei) >= 0
だからトレースも0以上

Q茜色の写真について

初歩的な質問で申し訳ありません。

フィルムで撮る写真の中に、茜色になる写真ができていました。

これは露出をミスしたせいなのでしょうか。
機材の調子がわるいのでしょうか。
それとも現像・プリントの段階で補整されたためなのでしょうか。

実例画像を添付させていただきます。
同時間に同じ場所、同じ絞り、同じシャッタースピードでの撮影です。

こうなる仕組みを是非とも知りたいと思います。

カメラはハッセル501CのCFレンズ。
絞りは11、シャッタースピード500です。
フィルムはポートラ400。
露出にはセコニックスタジオデラックスを使用の上、標準露出で測りました。


お手数をおかけいたしますが、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

機材の不具合やフィルム現像ではなく、プリント時の補正ミスでしょう。

・機材の調子が悪くても露出が変わることはあっても色は変わりません。
・同じ場所、同じ時刻の撮影ならお書きの数値で大きな露出ミスはないと思います。
・フィルム現像に問題があれば右側の写真にも異常が出ているはずです。

>こうなる仕組みを是非とも知りたいと思います。

最近はネガフィルムもスキャンしてデジタルプリントで出す店が多いですから
そうだとすれば恐らくその店のオペレーターの判断ミスでしょう。
クレームをつければプリントし直してくれます。

---

ただ、せっかくフィルムで撮るのですから
ネガフィルムから直接プリントしてくれる店を探して依頼したほうがいいです。
カメラ量販店ではやっていないかもしれませんが
「プロラボ」と呼ばれる施設なら受けてくれます。

このような施設です↓
http://www.prolab-create.jp/index.html
http://www.horiuchi-color.co.jp/

あ「プロラボ」と言うのは「プロが利用する店」という意味ではなく
「プロ向けの仕事をする店」という意味です。
プロ・アマは問いませんし、料金もモノによっては量販店より安いです。
「サービスサイズプリント」や「30分仕上げ」などはやっていないかもしれませんが
リバーサルフィルムなら「持ち込み2時間仕上げ」などはやります。
もちろん仕上がりは量販店経由のアマチュア向けラボよりずっと高品質です。

機材の不具合やフィルム現像ではなく、プリント時の補正ミスでしょう。

・機材の調子が悪くても露出が変わることはあっても色は変わりません。
・同じ場所、同じ時刻の撮影ならお書きの数値で大きな露出ミスはないと思います。
・フィルム現像に問題があれば右側の写真にも異常が出ているはずです。

>こうなる仕組みを是非とも知りたいと思います。

最近はネガフィルムもスキャンしてデジタルプリントで出す店が多いですから
そうだとすれば恐らくその店のオペレーターの判断ミスでしょう。
クレームをつけれ...続きを読む

Q(x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C

(x^2)' = 2x^1 ⇔ ∫2x dx = x^2 + C
(x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C
※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう?

はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、
イメージとしては、どう捉えればよいでしょう?

証明等は無くても構いませんので、
直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。

(もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)

Aベストアンサー

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + C …(4)
のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。

たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

また、(4)のリストの立場で考えると、(分母にnがあるので)n=0を除外しなければならないけど、一方、積分∫x^{-1}dxというものは厳然として存在しているので、その隙間に、べき関数とは全く違う関数 ln|x|+C が入ってきているという言い方もできます。これは、べき関数だけでは一覧表が完成しないところに、logでもって完成させているということにもなります。つまりlogという関数は、べき関数のリストの「隙間」に入ってきて、「完成させる」というイメージです。

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = l...続きを読む

Q「茜色が燃えるとき」の歌詞の解釈について。

スクービードゥーの「茜色が燃えるとき」が好きなのですが、歌詞で一部理解できない部分があります。
http://www.livejournal.com/~kimoi/13622.html

 「今いるこの場所はすり減るだけのゲーム」
 それなら俺はただ 笑うだけで勝てるはず

 「今いるここからは落ちてくだけのゲーム」
 それなら そう 誰もが踊るだけで勝てるはず

という部分はどういう意味なのでしょうか。
ゲームの勝者はすり減った/落ちた人なんですか?
それとも、すり減った/落ちた人は負けで、勝つためには笑う/踊るだけで良い、という意味なのでしょうか。
私は後者で「人生なんてちょろいぜ」という前向きな内容なのかと思っていたのですが、
ちょっと検索してみたら「悲しい人生を語るような」とあり、
どちらが作詞者の意図に近い解釈なのか気になりました。
笑ったり踊ったりしているだけじゃ落ちるぜというシニカルな歌詞なのでしょうか。

真意は作詞の小山さんのみぞ知る……だとは思うのですが、
「私はこうだと思う」ということで結構ですので教えていただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

スクービードゥーの「茜色が燃えるとき」が好きなのですが、歌詞で一部理解できない部分があります。
http://www.livejournal.com/~kimoi/13622.html

 「今いるこの場所はすり減るだけのゲーム」
 それなら俺はただ 笑うだけで勝てるはず

 「今いるここからは落ちてくだけのゲーム」
 それなら そう 誰もが踊るだけで勝てるはず

という部分はどういう意味なのでしょうか。
ゲームの勝者はすり減った/落ちた人なんですか?
それとも、すり減った/落ちた人は負けで、勝つためには笑う/踊る...続きを読む

Aベストアンサー

全歌詞を理解しないと分からない気もしますが

「俺の人生、すげー苦しくて色んなもん捨ててきて
すり減ってばかり。そんなゲームがあるなら
俺にはもうすり減るもんないから、笑うだけで
勝ってやるさぁ!」

ってな感じかな?落ちるのも同じで

「世の中、誰もが落ちたことのある人生送ってる。
だから落ちることの恐怖なんか知ってるから
踊って吹き飛ばして、勝ってやるわぁ!」

と、僕ならこう考えます!!

QV:有限次元内積空間,∀f∈Dual(V),∃1y∈V such that f(x)= (∀x∈V)

宜しくお願い致します。

[問]VとDual(V)をそれぞれ有限次元内積空間とVの双対空間とする。
∀f∈Dual(V),∃1y∈V such that f(x)=<x,y> (∀x∈V)

という問題が証明できません。

Dual(V)はvHom(V,C):={f;f:V→C,fはベクトル空間準同型}(Cは複素数体を表す)
の事です。
fがベクトル空間準同型とは∀v,w∈V,∀c∈C,f(v+w)=f(v)+f(w)∧f(cv)=cf(v)と満たす線形写像の事です。

内積の定義は複素線形空間Vの任意の要素x,yに対して複素数<x,y>が定まり,次の4条
件を満たす時<x,y>をxとyの内積といい,内積が定義されている空間Vを内積空間と言
う。
(i) <x,x>≧0; <x,x>=0⇔x=0
(ii) <x,y>=<y,x>~ (~はバーを表す)
(iii) <x+y,z>=<x,z>+<y,z>
(iv) <αx,y>=α<x,y>

です。
この命題を満たすyとして何を採れば宜しいのでしょうか?

Aベストアンサー

んーー,わざわざ「射影」といったのに
証明のその部分を読み飛ばしてるとは・・・

>∃v∈V\Ker(f)でC∋)f(v)≠0(∵Kernelの定義)で∀x∈Vに対し
>f(x-f(x)/f(v)v)=f(x)-f(x)/f(v)f(v)(∵fは線形写像)=f(x)-f(x)=0…(1)

これ自体は正しいのですが,このvだと余計な成分があって駄目です。
射影もしくは「分解」とかの議論がありませんでしたか?
(何を参照したのか分かりませんがなければその証明はだめです)

vそのものではなく,
Kef(f)+U=Vのように直交分解して
v=w+u,wはKer(f)の元,uは0ではなく,Ker(f)とuは直交
となるようにします.
#これは有限次元だから可能
#けどヒルベルト空間ならこれに類することができる
このとき,
∀x∈Vに対し
f(x-f(x)/f(u)u)=f(x)-f(x)/f(u)f(u)=0
したがって,x-f(x)/f(u)uはKer(f)の元
だから,
0=<x-f(x)/f(u)u,u> (uはKer(f)の直交補空間Uの元)
=<x,u> - f(x)/f(u) <u,u>
よって
<x,u>f(u)=f(x)<u,u>
f(x)<u,u>=<x,u>f(u)
f(x) = (f(u)/<u,u>) <x,u>
= <x, (f(u)/<u,u>)~ u>
ですか.複素でやってるので
内積の後ろに方に
スカラーを入れると共役になるのに注意.

#内積があれば,双対・もとのベクトル空間・双対の双対が
#簡単になるというありがたいお話ですな

んーー,わざわざ「射影」といったのに
証明のその部分を読み飛ばしてるとは・・・

>∃v∈V\Ker(f)でC∋)f(v)≠0(∵Kernelの定義)で∀x∈Vに対し
>f(x-f(x)/f(v)v)=f(x)-f(x)/f(v)f(v)(∵fは線形写像)=f(x)-f(x)=0…(1)

これ自体は正しいのですが,このvだと余計な成分があって駄目です。
射影もしくは「分解」とかの議論がありませんでしたか?
(何を参照したのか分かりませんがなければその証明はだめです)

vそのものではなく,
Kef(f)+U=Vのように直交分解して
v=w+u,wはKer(f)の元,uは0ではなく...続きを読む

Qこういうのをどうやって言葉として表現できますか?

これです。
「一面は砂漠で、熱帯雨林がところどころある。空を見るとオレンジ色のだらけ。
そらを見上げれば砂漠が吹いてくる音があちらこちら聞こえまるで天国のような」

この状況であるような場所を何といえば良いか、その場所を言葉で表現するとしたら
どう言ったらいいのか教えてください。
もちろんこれが「砂漠」と思う人がいるかもしれませんが、砂漠の場所であるならば
鍵括弧で言ってある状況とは限らないと思います。
つまり鍵括弧でおっしゃっている場所と同値になるような言い回しが分かるかたもしくは
そのように言えそうな言い方があれば教えてほしいということです。
けっこう自分はその状況が頻繁に出てきて感動するのでそういった場所を言葉で表現とするとしたら、表現ができたら会話で話すにも便利な感じがします。

Aベストアンサー

砂漠のオアシス ,
ここはまるで別天地のようだ。
都会の雑踏を離れて訪れたここはまるで桃源郷のようだ。

その他の楽園の類義語は極楽浄土、エデンの園 パラダイス 約束の地 楽天地 パラダイス 
シャングリラ ハライソ 常世の国 理想郷 ユートピア 別世界
聖域(サンクチュリア)等 

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.


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