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Vを実数に係数を持つ2次以下の多項式全体が成すベクトル空間とする。すなわち、
V={a+bx+c*x^2|a、b、c∈R}
である。tを0≦t なる定数とし、線形変換T :V→V を
T(f(x))=f(1+tx)により定義する。
Vの基底1、x、x^2に関するTの表現行列を求めよ。

という問題があります。一般に、、、、
【線形写像f:R^n→R^mに対して、(m,n)型の行列Aがただひとつ定まり、
x'=f(x)=Axと表せる。(x∈R^n, x'∈R^m)
この行列Aを、線形写像fの表現行列という。】
表現行列はこのように定義されていますから、この問題の場合
t^(T(1),T(x),T(x^2))=
(1,0,0)
(1,t,0)
(1,2t,t^2)
*
t^(1,x,x^2)
となるため、求める表現行列Aは
(1,0,0)
(1,t,0)
(1,2t,t^2)
となるかと思っていたのですが、解答には、これを転置した行列が書いてありました。
(1,1,1)
(0,t,2t)
(0,0,t^2)
となっていました。
なぜこうなるのか理屈が分からないのですみませんが教えてください。

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A 回答 (3件)

転置した行列が得られたならかなりいい線いっている、というかほとんど合っていると言ってもいいんじゃないかと思います。

僕の求め方は、
f(x) = a + bx + cx^2 として、Tf(x)を計算します。すると
Tf(x) = f(1+tx)
= a + b(1+tx) + c(1+tx)^2
= a + b + tbx + c(1+2tx + t^2x^2)
= (a+b+c) + (tb + 2ct)x + t^2x^2
となるので、この線形写像Tは、(a,b,c)を
(a', b', c') = (a+b+c, tb+2ct, t^2)に移すことがわかります。ここで線形写像Tの表現行列(3×3)をAで表すとその定義から
(a') (a)
(b') = A (b)
(c') (c)
を満たします。この結果、模範回答が得られます。一方で、ベクトルを横に配置すれば
(a', b', c') = (a, b, c) A 
となるので、milkyway60さんが得たように転置した行列が得られます。

果たして、ベクトルを縦に取るのは義務なのか慣例にすぎないのかはちょっと分かりません。しかし、一般には縦に配置することが多いとは思います。というのも、普通、写像は左からかけるので、掛け算がきちんと定義されるためには縦ベクトルにする必要があるのです。

と、ここまで書いて気づいたのですが、表現行列の定義が与えられているんですね。x' = Ax というのが表現行列Aの定義と書かれているのであれば、これはやはりベクトルは縦でないと掛け算が成立しませんね。
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見にくくなっていてすみません。


(a') (a)
(b') = A (b)
(c') (c)
という部分は、
(a', b', c')^T = A (a, b, c)^T
ということです。^Tは転置。
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「基底に対する表現行列」というものの定義で混乱しているのではないですか?


「一般に、、、、」と書かれた部分は、R^n と R^m の標準的な基底に関する表現行列の定義ですね。

一般の基底に対する表現行列の定義をもう一度復習してみてください。(ここは大事なところですので是非ご自分でやってみてください。勉強になると思います。)
そうするとその解答が正しいことがおわかりになるかと思います。

その上でさらにつまづかれたら、どこまでわかってどこでつまづいたか、補足なり、新しい質問をするなりされるとよいと思います。
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