No.5
- 回答日時:
>>解答の指針
なので、かなりざっくり書いちゃうと、
(1)n = 1 のとき
f(x) = ax + b
k = 1 とすると、f(0) = b , f(1) = a + b が整数
省略
(2)n = m のとき成立すると家庭
(m + 1)次多項式f(x) に対して、f(0) , … , f(m + 1) がすべて、整数とするとき、すべての整数 k に対して f(k) が整数となることを示す。
F(x) = f(x + 1) - f(x) と家庭使えば示せると思います。
No.4
- 回答日時:
まず最初に、その定理が、
f(x) を多項式に限定しなくても成立する
ことに気づきましょう。
実数から実数への関数 f(x) について、
全ての整数 k に対して f(k) が整数となる
ための必要十分条件は… という訳です。
このように一般化しても、定理は成り立つのですが、
このように一般化すると、
式変形などの操作でできることが限られてしまう
ので、返って、やるべきことがハッキリしてきます。
そういう目で、No.2 に沿って再考してください。
No.3
- 回答日時:
必要条件は明らかですよね。
十分条件は数学的帰納法でいいのでは?
気になるのはkがマイナスの場合ですが、同様に示せるでしょう。
例えば、f(0)-f(-1)が整数で、f(0)が整数なのでf(-1)も整数。以下同様でkがマイナスの場合も言える。
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