整数問題

実数を係数とするxの多項式f(x)について、すべての整数kに対してf(k)が整数であるための必要十分条件は、
f(0)が整数
かつ
すべての整数kについてf(k)-f(k-1)が整数である
ことを証明せよ。

この問題でf(x)=ax{n}+bx{n-1}+・・・
とおいてやったのですが
できませんでした

他に何か考え方はないでしょうか？

解答の指針を教えてください

No.1 ベストアンサー 回答者： owata-www 回答日時： 2009/05/23 17:31

f(k)が整数→f(0)が整数　かつ　すべての整数kについてf(k)-f(k-1)が整数である

数学的帰納法

f(0)が整数　かつ　すべての整数kについてf(k)-f(k-1)が整数である→f(k)が整数

背理法


あたりを使うのがいいかと

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2009/05/23 23:23

No.5 回答者： onigiri_3 回答日時： 2009/05/23 20:16

>>解答の指針

なので、かなりざっくり書いちゃうと、
(1)n = 1 のとき
　f(x) = ax + b
　k = 1 とすると、f(0) = b , f(1) = a + b が整数
　省略

(2)n = m のとき成立すると家庭
　(m + 1)次多項式f(x) に対して、f(0) , … , f(m + 1) がすべて、整数とするとき、すべての整数 k に対して f(k) が整数となることを示す。
　F(x) = f(x + 1) - f(x) と家庭使えば示せると思います。

この回答へのお礼

なんとか解けました。
ありがとうございました

お礼日時：2009/05/23 23:24

No.4 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/05/23 19:33

まず最初に、その定理が、

f(x) を多項式に限定しなくても成立する
ことに気づきましょう。

実数から実数への関数 f(x) について、
全ての整数 k に対して f(k) が整数となる
ための必要十分条件は… という訳です。

このように一般化しても、定理は成り立つのですが、
このように一般化すると、
式変形などの操作でできることが限られてしまう
ので、返って、やるべきことがハッキリしてきます。

そういう目で、No.2 に沿って再考してください。

この回答へのお礼

No2への補足ありがとうございました

またよろしくお願いします

お礼日時：2009/05/23 23:24

No.3 回答者： banakona 回答日時： 2009/05/23 17:39

必要条件は明らかですよね。

十分条件は数学的帰納法でいいのでは？
　気になるのはｋがマイナスの場合ですが、同様に示せるでしょう。
　例えば、ｆ（０）－ｆ（－１）が整数で、f(0)が整数なのでｆ（－１）も整数。以下同様でｋがマイナスの場合も言える。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2009/05/23 23:25

No.2 回答者： owata-www 回答日時： 2009/05/23 17:32

すいません逆でした

この回答への補足

背理法、数学的帰納法ともに
無茶苦茶になってしまい答えにたどりつきませんでした

補足日時：2009/05/23 17:36