実数を係数とするxの多項式f(x)について、すべての整数kに対してf(k)が整数であるための必要十分条件は、
f(0)が整数
かつ
すべての整数kについてf(k)-f(k-1)が整数である
ことを証明せよ。

この問題でf(x)=ax{n}+bx{n-1}+・・・
とおいてやったのですが
できませんでした

他に何か考え方はないでしょうか?

解答の指針を教えてください

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (5件)

f(k)が整数→f(0)が整数 かつ すべての整数kについてf(k)-f(k-1)が整数である



数学的帰納法

f(0)が整数 かつ すべての整数kについてf(k)-f(k-1)が整数である→f(k)が整数

背理法


あたりを使うのがいいかと
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2009/05/23 23:23

>>解答の指針


なので、かなりざっくり書いちゃうと、
(1)n = 1 のとき
 f(x) = ax + b
 k = 1 とすると、f(0) = b , f(1) = a + b が整数
 省略

(2)n = m のとき成立すると家庭
 (m + 1)次多項式f(x) に対して、f(0) , … , f(m + 1) がすべて、整数とするとき、すべての整数 k に対して f(k) が整数となることを示す。
 F(x) = f(x + 1) - f(x) と家庭使えば示せると思います。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

なんとか解けました。
ありがとうございました

お礼日時:2009/05/23 23:24

まず最初に、その定理が、


f(x) を多項式に限定しなくても成立する
ことに気づきましょう。

実数から実数への関数 f(x) について、
全ての整数 k に対して f(k) が整数となる
ための必要十分条件は… という訳です。

このように一般化しても、定理は成り立つのですが、
このように一般化すると、
式変形などの操作でできることが限られてしまう
ので、返って、やるべきことがハッキリしてきます。

そういう目で、No.2 に沿って再考してください。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

No2への補足ありがとうございました

またよろしくお願いします

お礼日時:2009/05/23 23:24

必要条件は明らかですよね。


十分条件は数学的帰納法でいいのでは?
 気になるのはkがマイナスの場合ですが、同様に示せるでしょう。
 例えば、f(0)-f(-1)が整数で、f(0)が整数なのでf(-1)も整数。以下同様でkがマイナスの場合も言える。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2009/05/23 23:25

すいません逆でした

この回答への補足

背理法、数学的帰納法ともに
無茶苦茶になってしまい答えにたどりつきませんでした

補足日時:2009/05/23 17:36
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード


人気Q&Aランキング