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1) 変数変換を行って、微分方程式を変形させる。
両辺をxで割って、ベルヌーイの微分方程式 の標準的な形にします。
dy/dx+y/x=log(x)/x y^2
ここで、ベルヌーイの微分方程式 と比べますと、m=2 となっていることが分かりますので、
u=y^(1-2)=1/y (∴du=-dy/y^2)
と置きます。
http://www.sys.eng.shizuoka.ac.jp/~miyazaki/Koug …
この変数変換を用いて元の微分方程式を変形させますと、次のようになります。
du/dx-u/x=-log(x)/x ・・・☆
2) 同次微分方程式と見なして一般解を得る。
式☆の右辺を0と見なすと、変数分離形になるので、次の一般解が得られます。
u=vx (v:積分定数) ・・・(1)
3) 定数変化法で、式☆の非同次微分方程式の一般解を得る。
式(1)の積分定数vをxの関数とすると、
du=xdv+vdx
なので、これを式☆に代入すると、次の微分方程式を得ます。
dv=-log(x)/x^2 dx
∴v=log(x)/x+1/x+C (C:積分定数)
4) 変数を元に戻す。
∴u=log(x)+1+Cx
∴y=1/{log(x)+1+Cx}
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