原点における連続性を調べる問題ですが、わかりません。

連続か不連続かを調べる問題です。問題は
(1)z= {(x^3+y^3)/(x^2+y^2) ((x,y)≠(0,0))
{0 ((x,y)=(0,0))
(2)z= {(x^2+y^2)/(x^2+2y^2) ((x,y)≠(0,0))
{0 ((x,y)=(0,0))
の二問です。答えは最初が連続、もう一方は不連続になりますが、なぜそうなるかがわかりません。教えてくれる方おしえてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/07/01 19:36

原点へ近づく近づきかたに依らず

値の行き先が同じなら収束、
そうでなければ発散です。

x = r cosθ
y = r sinθ
と極座標変換したとき、
r → 0 の極限が収束して
その値が θ に依らなければ、
二変数関数の意味で収束します。

その値が、原点での関数値と
一致しているか否か。

この回答へのお礼

ありがとうございました。確かにこれで解けました。

お礼日時：2009/07/01 22:06

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/07/01 23:59

(1) は分子が x と y の 3次で分母が 2次ですから, 「比をとると 1次が残りそう」という予想はつきます. つまり,

|(x^3+y^3)/(x^2+y^2)| ≦ a|x| + b|y|
となる a, b がありそうだなぁ, くらいは出てきます. なので, この a, b で簡単なものを見付ければなんとかなるな, と. あと, 分母が
|x^2+y^2| = |x^2| + |y^2| = |x|^2 + |y|^2
とできるのでちょっとだけ楽に変形できます.
これに対して (2) は分子, 分母ともに 2次なので収束しない可能性を最初から見ておくことができます.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/07/01 18:06

どちらも原点に近付けたときの極限を計算すれば OK.

(2) はそもそも極限が存在しません. x軸にそって近づけたときと y軸にそって近づけたときで値は違うよね.
(1) は |(x^3+y^3)/(x^2+y^2)| ≦ |x|+|y| に気づけば終わり.

この回答へのお礼

ありがとうございました。確かに極限存在してませんね＠＠；。 |(x^3+y^3)/(x^2+y^2)| ≦ |x|+|y| はきずきませんでした。すごい発想力がいいですね・・・。

お礼日時：2009/07/01 22:07