二次形式と正定値

^Tで転置を表すとすると、
n次ベクトルxとnxn実対称行列Aを用いて、
S=x^TAx
として、二次形式が表せ、任意のx≠0に対して、S>0なら、Aの固有値は全て正となる。とのことなので、とりあえず、1x1と2x2の場合は成り立っていることが証明できたので、nxnの一般の場合も証明しようとしたのですがうまくいきません。

今の所分かっていることを以下に示しておきます。

・実対角行列は正規行列なので、直交行列をもちいて対角化可能
・Aのそれぞれの固有値をλ_iとおくと、|A|=Π[i=0→n]λ_i (Πは全ての要素について掛けることを意味する)
　帰納法の証明に使える気がする？

・S=x^TAx>0なら、
　・Sが下に有界なのでAの対角成分は全て正
　・下に凸なので、
　　∂S/∂x=2Ax=0
　　となる、xでS最小
　　かつ、A正則なら、
　　　x=0で最小
　　Aが正則でないなら
　　　Sが最小となるxの値が一意的に定まらない

・固有値が正なら、
　・Aは正則行列(逆行列を有する)



何かヒントになりそうなことでもいいのでよろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： reiman 回答日時： 2009/08/16 15:25

No.2にゴミがついていたのでとると

n次対称行列Aについて
任意の0でないn次元ベクトルxについて0<x^TAx⇔Aの固有値はすべて正
の証明：
直交行列PによりΛ=P^TAPが対角行列になる事を使えば自明。
敢えてバカ丁寧に書くと以下の様になる。
Λの対角成分を左上から右下にλ[1],λ[2],λ[3],…,λ[n]とし
y=P^Txと置きyの成分を順にy[1],y[2],y[3],…,y[n]とすると
x^TAx=y^TΛy=λ[1]y[1]^2+λ[2]y[2]^2+λ[3]y[3]^2+…+λ[n]y[n]^2
⇒)
kを1以上n以下整数としてλ[k]≦0とすると
y[k]=1としm≠kのときy[m]=0とするとx^TAx≦0。
←)
y[1],y[2],y[3],…,y[n]の中に0以外のものがあるから
λ[1],λ[2],λ[3],…,λ[n]がすべて正のとき
0<λ[1]y[1]^2+λ[2]y[2]^2+λ[3]y[3]^2+…+λ[n]y[n]^2。

この回答へのお礼

返信送れてすみません。
どうも有り難うございました。

お礼日時：2009/08/21 05:23

No.2 回答者： reiman 回答日時： 2009/08/16 15:20

n次対称行列Aについて

任意の0でないn次元ベクトルxについて0<x^TAx⇔Aの固有値はすべて正
の証明：
直交行列PによりΛ=P^TAPが対角行列になる事を使えば自明。
敢えてバカ丁寧に書くと以下の様になる。
Λの対角成分を左上から右下にλ[1],λ[2],λ[3],…,λ[n]とし
y=P^Txと置きyの成分を順にy[1],y[2],y[3],…,y[n]とすると
x^TAx=y^TΛy=λ[1]y[1]^2+λ[2]y[2]^2+λ[3]y[3]^2+…+λ[n]y[n]^2
⇒)
kを1以上n以下整数としてλ[k]≦0とすると
y[k]=1としm≠kのときy[m]=0とするとx^TAx≦0。
←)
y[1],y[2],y[3],…,y[n]の中に0以外のものがあるから
λ[1],λ[2],λ[3],…,λ[n]がすべて正のとき
0<λ[1]y[1]^2+λ[2]y[2]^2+λ[3]y[3]^2+…+λ[n]y[n]^2。



は固有値に0以下になるものがあれば右辺の0以下になる固有値の
係数が1になりそれ以外の係数が0になるように(P^Tx)の成分を決めてやることによって上式が0以下になってしまう事を使えば良い。
←は右辺の各項が0以上であっていずれかの項が正であることから自明。

No.1 回答者： reiman 回答日時： 2009/08/16 13:05

質問内容が分からない。

はっきり書いてほしい。
n次対称行列Aについて
任意の0でないn次元ベクトルxについて0<x^TAx⇔Aの固有値はすべて正
の証明が知りたいということならば
直交行列PによりΛ=P^TAPが対角行列になる事を使えば自明。
x^TAx=(P^Tx)^TΛ(P^Tx)
⇒は固有値に0以下になるものがあれば右辺の0以下になる固有値の
係数が1になりそれ以外の係数が0になるように(P^Tx)の成分を決めてやることによって上式が0以下になってしまう事を使えば良い。
←は右辺の各項が0以上であっていずれかの項が正であることから自明。