2直線3x+2y-5=0,2x-3y+4=0のなす角の二等分線のうちで、傾きが正の直線

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★次の直線の方程式を、軌跡の考えを用いて求めよ。
(1)2直線3x+2y-5=0,2x-3y+4=0のなす角の二等分線のうちで、傾きが正の直線
(2)直線y=2xに関して、直線2x+3y=6と対称な直線

この問題について説明またはヒントを教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/10/09 20:27

#1です。

A#1で
(1)の別解のやり方
添付図ような図を描きながら解いて行くといいでしょう。

[1]
直線　3x+2y-5=0（黒線）と
直線　2x-3y+4=0（青線）
の交点P(7/13,22/13)を求める。
交点は2つの直線の連立方程式を解いて求めます。

[2]
黒直線上の点A(1,1)をとり、Pを中心としAを通る円（半径r=3/√13)）を描き、青直線との交点B(16/13,28/13),C(-2/13,16/13)を求める。
円の方程式は
(x-7/13)^2+(y-22/13)^2=9/13
です。この円の式と青直線の式を連立にして解けば交点B,Cの座標が求まります。

[3]
ABの中点M(29/26,41/26),ACの中点N(11/26,29/26)の座標を求め
PとMを結ぶ緑の直線　と　PとNを結ぶ紫の直線
の内の傾きが正の方の直線（紫の直線）を求める。
この直線が題意の2等分線(y=5x-1)になる。
2点　P(7/13,22/13)とN(11/26,29/26)　を通る直線の式は分かりますね。
式を簡単化して答えとします。

注）#2さんの答えの直線の式と一致しますので合っているでしょう。

No.2 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/10/09 09:31

(1)だけ答えておく。

2等分線上の点を点Ｐ（α、β）とすると、Ｐから2直線までの距離が等しいから、点と直線との距離の公式より、｜3α＋2β-5｜/√13＝｜2α-3β＋4｜/√13　である。
分母を払うと　｜3α＋2β-5｜＝｜2α-3β＋4｜。3α＋2β-5＝±（2α-3β＋4）であるから、傾きが正の直線は、β＝5α-1.
流通座標に変換すると、y＝5x-1.

No.1 回答者： info22 回答日時： 2009/10/09 01:10

ヒント

(1)2直線の交点(7/13,22/13)を求めて、２つの直線の単位方向ベクトルを求め
それらの和と差の方向ベクトルを求めてやると、(1,-1/5)と(1,5)
交点(7/13,22/13)を通る方向ベクトルが正の傾き５の方向ベクトルを有する直線を求めるだけ。

(2)直線2x+3y=6上の点(x,y)と、この直線のy=2xに対称な直線上の点(X,Y)とおくと、
2点P(x,y)とQ(X,Y)の中点M((x+X)/2,(y+Y)/2)が直線y=2x上にあること、
かつ、線分PQが直線y=2xの法線になっていること（直線PQと直線y=2xが直交すること）条件を満たすようにXとYの関係を求めれば、それが線対称の求める直線になります。
つまり、
(y+Y)/2=2((x+Y)/2}
簡単化して　
y+Y=2(x+X)
{(y-Y)/(x-X)}*2=-1
この2つの式を(x,y)について解き、(x,y)をX,Yで表す。
そしてこの点(x,y)の座標を直線2x+3y=6　に代入してやれば
XとYだけの求める直線の式が得られます。
改めて、(X,Y)を流通座標の(x,y)の文字で置き換えて答えとすればいいでしょう。