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★次の直線の方程式を、軌跡の考えを用いて求めよ。
(1)2直線3x+2y-5=0,2x-3y+4=0のなす角の二等分線のうちで、傾きが正の直線
(2)直線y=2xに関して、直線2x+3y=6と対称な直線

この問題について説明またはヒントを教えてください。

A 回答 (3件)

#1です。


A#1で
(1)の別解のやり方
添付図ような図を描きながら解いて行くといいでしょう。

[1]
直線 3x+2y-5=0(黒線)と
直線 2x-3y+4=0(青線)
の交点P(7/13,22/13)を求める。
交点は2つの直線の連立方程式を解いて求めます。

[2]
黒直線上の点A(1,1)をとり、Pを中心としAを通る円(半径r=3/√13))を描き、青直線との交点B(16/13,28/13),C(-2/13,16/13)を求める。
円の方程式は
(x-7/13)^2+(y-22/13)^2=9/13
です。この円の式と青直線の式を連立にして解けば交点B,Cの座標が求まります。

[3]
ABの中点M(29/26,41/26),ACの中点N(11/26,29/26)の座標を求め
PとMを結ぶ緑の直線 と PとNを結ぶ紫の直線
の内の傾きが正の方の直線(紫の直線)を求める。
この直線が題意の2等分線(y=5x-1)になる。
2点 P(7/13,22/13)とN(11/26,29/26) を通る直線の式は分かりますね。
式を簡単化して答えとします。

注)#2さんの答えの直線の式と一致しますので合っているでしょう。
「2直線3x+2y-5=0,2x-3y+4」の回答画像3
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(1)だけ答えておく。



2等分線上の点を点P(α、β)とすると、Pから2直線までの距離が等しいから、点と直線との距離の公式より、|3α+2β-5|/√13=|2α-3β+4|/√13 である。
分母を払うと |3α+2β-5|=|2α-3β+4|。3α+2β-5=±(2α-3β+4)であるから、傾きが正の直線は、β=5α-1.
流通座標に変換すると、y=5x-1.
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ヒント


(1)2直線の交点(7/13,22/13)を求めて、2つの直線の単位方向ベクトルを求め
それらの和と差の方向ベクトルを求めてやると、(1,-1/5)と(1,5)
交点(7/13,22/13)を通る方向ベクトルが正の傾き5の方向ベクトルを有する直線を求めるだけ。

(2)直線2x+3y=6上の点(x,y)と、この直線のy=2xに対称な直線上の点(X,Y)とおくと、
2点P(x,y)とQ(X,Y)の中点M((x+X)/2,(y+Y)/2)が直線y=2x上にあること、
かつ、線分PQが直線y=2xの法線になっていること(直線PQと直線y=2xが直交すること)条件を満たすようにXとYの関係を求めれば、それが線対称の求める直線になります。
つまり、
(y+Y)/2=2((x+Y)/2}
簡単化して 
y+Y=2(x+X)
{(y-Y)/(x-X)}*2=-1
この2つの式を(x,y)について解き、(x,y)をX,Yで表す。
そしてこの点(x,y)の座標を直線2x+3y=6 に代入してやれば
XとYだけの求める直線の式が得られます。
改めて、(X,Y)を流通座標の(x,y)の文字で置き換えて答えとすればいいでしょう。
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(X,Y)と置いた瞬間に、
動点と感じれば疑問は起きないと思います。

距離の公式における 一点は、
定点であっても、動点であっても構いません。
テキストでは、
(a,b)と置くと定点に見えるので、
丁寧に、動点と見えるように(X,Y)と置いています。

言い換えると、
これは、軌跡を求めています。
軌跡と感じれば、自ずから(X,Y)は動点です。

また、図を描いて見ると、
定点ではなく、動点である事もわかります。


>>XとYをといたらその点がわかる・・・。

[ⅰ] X+Y-2=0
[ⅱ] 3X-3Y+8=0 の連立方程式を解くという意味であるなら、

[ⅰ]かつ[ⅱ]ではありません。

だから、解いても意味はありません。
たとえ、解いたとしても、
最初に与えられた、
2直線x-2y+5=0、2x-y+3=0 の交点に一致するのみです。
この事も図を描いて見ると判ります。

正しくは、

[ⅰ]または[ⅱ]です。
X+Y-2=0、または 3X-3Y+8=0 だから、
約束に従って、x,y に書き直して完了となります。

>>   =で結んだものをといたら方程式と・・・。

定点と見るか、動点と見るかです。
(X,Y)と置いた瞬間に、
動点と感じれば疑問は起きないと思います。

距離の公式における 一点は、
定点であっても、動点であっても構いません。
テキストでは、
(a,b)と置くと定点に見えるので、
丁寧に、動点と見えるように(X,Y)と置いています。

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