東大の過去問です。

各格子点を中心として半径ｒの円がえがかれており、傾き２/５の任意の直線はこれらの円のどらかと共有点を持つという。このような性質をもつ実数ｒの最小値を求めよ。

この問題の答えが分かりません。くわしく分かりやすく教えていただけたら幸いです。

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2011/07/25 18:33

問題を言い替えれば、

「どの円の内部とも共有点を持たない傾き２/５の直線が存在するときのｒの最大値を求めよ」
と同じです。

半径ｒが十分小さければ、中心(0,0)の円の上側に接する傾き２/５の直線は他の円の内部と共有点を持ちません。

半径ｒを徐々に大きくしていったとき、直線に最初に接する円は、中心(2,1)の円です。

ということで、
中心(0,0)の円の上側と中心(2,1)の円の下側に接する直線の傾きが２/５になるようにｒを定めればよいことになります。

これを計算すると、
中心(0,0)半径ｒの円に上側に接する傾き２/５の直線のy切片は、√{1+(2/5)^2}r=(√29/5)rなので、
{1-2(√29/5)r}/2=2/5
より、
r=√29/58
となります。

この回答への補足

すばらしい回答ありがとうございます。

{1-2(√29/5)r}/2=2/5

この式はどういう意味でしょうか？くわしく教えてください＞＜

補足日時：2011/07/25 22:01

この回答へのお礼

、√{1+(2/5)^2}r=(√29/5)r

この式の導き方も教えてください＞＜＞＜

お礼日時：2011/07/25 22:14

No.2 回答者： momordica 回答日時： 2011/07/26 00:34

座標平面上で格子点を通る傾き２/５の直線は

　２ｘ－５ｙ＝ｎ　（ｎは整数）
と表されます。
座標平面上のすべての点について、このような直線を引くと、それらは互いに
距離１/√２９ずつ離れた等間隔の平行線になります。

問題の「各格子点を中心とする半径rの円」はそれぞれ上記の平行線のどれかの上に
中心があります。
また「傾き２/５の任意の直線」（以下、直線Lと表記）はそれらの平行線と平行な
直線であるわけですから、直線Lと最も近い直線との間の距離ｄがｒ以下であれば、
円と共有点を持つことになります。

ここで、ｄが最大となる場合を考えると、それは直線Lが、隣り合う２本の平行線の
ちょうど真ん中に引かれたときであり、そのとき、ｄ＝１/２√２９です。
この時にｄ≦ｒであればよいので、ｒの満たすべき条件は
　ｒ≧１/２√２９

よって最小のｒは　１/２√２９　となります。
分母を有利化してやれば＃１さんと同じ答です。

この回答への補足

お礼の欄間違えました。すいません。すばらしい別解ありがとうございます。

補足日時：2011/07/26 07:03

この回答へのお礼

{1-2(√29/5)r}/2=2/5

この式はどういう意味でしょうか？くわしく教えてください＞＜

何度もすいません。

お礼日時：2011/07/26 07:01

No.3 回答者： nag0720 回答日時： 2011/07/26 01:28

＞√{1+(2/5)^2}r=(√29/5)r

＞この式の導き方も教えてください＞＜＞＜

中心O(0,0)半径rの円と、傾き2/5の円の接線（円の上側）を描いて、
接点をP、接線とy軸との交点をQとすると、
三角形OPQは直角三角形で、OP：PQ＝５：２です。
OP=rなので、PQ=(2/5)r
OQ=√(OP^2+PQ^2)=√{1+(2/5)^2}r

この回答へのお礼

{1-2(√29/5)r}/2=2/5

この式はどういう意味でしょうか？くわしく教えてください＞＜

何度もすいません。

お礼日時：2011/07/26 07:02

No.4 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2011/07/26 15:43

＞{1-2(√29/5)r}/2=2/5

＞この式はどういう意味でしょうか？


中心R(2,1)半径rの円にも、傾き2/5の円の接線（円の下側）を描き、
接線と直線x=2との交点をSとすると、
RS=(√29/5)r

で、直線QSの傾きが2/5になればいいわけですから、
Q(Qx,Qy)=(0,(√29/5)r)
S(Sx,Sy)=(2,1-(√29/5)r)

(Sy-Qy)/(Sx-Qx)=2/5

{1-(√29/5)r-(√29/5)r}/(2-0)=2/5