数IIの対数の問題なのですが、途中でつまってしまいました。どなたかお助けください。
【問】log(x)y と log(y)x (0<x<1,1<y)の大小を比較せよ。
この二つの差をとり正、もしくは負であることを示そうとして
log(x)y - log(y)x
=log(x)y - 1/log(x)y
=(log(x)y+1)(log(x)y-1)/log(x)y
としてみたのですが(log(x)y+1)の正負の判断がつきません。
解答では底を10に変換して
(与式)
=(log(10)y+log(10)x)(log(10)y-log(10)x)/log(10)y×log(10)x
としていきなり答えになっているのですが、自分には
(log(10)y+log(10)x)の正負が判断できません。どのように判断すればいいのでしょうか。
A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
> log(x)y - log(y)x
>=log(x)y - 1/log(x)y
>=(log(x)y+1)(log(x)y-1)/log(x)y
なぜ↑のように変形するのですか?
このように変形すれば分子分母の正負が判定できるならともかく
>(log(x)y+1)の正負の判断がつきません。
正負の判定できない式へと変形しても、変形の意味はないですね。
正負の判定ができる式へと変形しなければ、ただの無駄な計算となるだけです。
>(与式) の対数をすべて常用対数に直して(対数の底10は省略します)
=log(y)/log(x)-log(x)/log(y)
通分して
=[{log(y)}^2-{log(x)}^2]/{log(x)log(y)}
>=(log(10)y+log(10)x)(log(10)y-log(10)x)/log(10)y×log(10)x
={log(y)-log(x)}{log(y)+log(x)}/{log(x)log(y)}
=log(x/y)log(xy)/{log(x)log(y)} …(●)
0<x<1,1<yなので
log(x)<log(1)=0,log(y)>log(1)=0,log(x/y)<log(x/1)=log(x)<0,
xyは1より大きくなったり、1になったり、1より小さくなったりするのでlog(xy)は負、0、正にもなる。
ゆえに (●)の符号はlog(xy)の符号と同じになる。
つまり
xy>1の場合
log(x)y-log(y)x>0
xy=1の場合
log(x)y-log(y)x=0
0<xy<1の場合
log(x)y-log(y)x<0
となります。
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