No.5ベストアンサー
- 回答日時:
No.1 補足にある、貴方の解法でよいでしょう。
No.2 補足にあるとおり、
√(n(n+1)) が無理数であることを示せば、
No.1 の論法で証明できます。
もし、n(n+1) が平方数であれば、
n と n+1 は互いに素であることから、
n と n+1 が其々平方数でなくてはなりませんが、
n と n+1 の差が 1 であることから、
それはあり得ません。
平方数の差の最小値は、4-1 です。
よって、√(n(n+1)) は無理数。
No.4
- 回答日時:
#3 の命題[1] が全てかなぁと感想を持ちつつ, たぶん誰も期待しない解答:
n が自然数なら n と n+1 が同時に平方数になることはないので, 2つの 2次方程式
t^2 - 2[√(n+1)]t + 1 = 0
t^2 - 2[√n]t - 1 = 0
が同時に有理数解をもつことはありません.
そして, この 2つの方程式は √n + √(n+1) を共通解に持ちます.
よって √n + √(n+1) は無理数.
No.3
- 回答日時:
まず準備として、
命題[1]
「すべてのnに対して、√nと√(n+1)の少なくとも一方は無理数である。」
を示します。
(証明)
自然数nに対し、√nが有理数のとき、p、qを互いに素である自然数として、
√n=q/p⇒n=(q^2)/(p^2)
p^2、q^2も互いに素であるのでp^2=1、すなわちp=1である。
よって、√nが有理数のとき、√nは自然数である。
さて、√nと√(n+1)がともに有理数、すなわち自然数と仮定すると、
√(n+1)-√n=1/(√(n+1)+√n)<1
これは、√nと√(n+1)がともに自然数であることに反する。
よって、命題[1]は示された。(証明終)
では、本題に移りましょう。
命題[2]
「すべてのnに対して、√n+√(n+1)は無理数である。」
を示します。
(証明)
命題[1]より、すべてのnに対して、√nと√(n+1)の少なくとも一方は無理数である。
(i)√n、√(n+1)の一方が有理数、もう一方が無理数のとき
このとき、√n+√(n+1)は無理数である。
(ii)√n、√(n+1)がともに無理数のとき
√n+√(n+1)が有理数であると仮定すると、r、sを互いに素である自然数として、
√n+√(n+1)=s/r⇔√(n+1)=-√n+s/r
⇒n+1=n-(2s√n)/r+(s/r)^2
⇔√n=(r/2s){-1+(s/r)^2}
すると、左辺は無理数、右辺は有理数となり矛盾。
よって、√n+√(n+1)は無理数である。
(i)、(ii)より命題[2]は示された。
もう少し簡潔な証明法があるかもしれませんが、確か京大の過去問に類題があったので、その時の解き方に倣ってみました。
No.1
- 回答日時:
まずは n = 2 の場合を証明して補足にどうぞ。
この回答への補足
ここに書けということでしょうか?
参考にしろってことですかね?
まぁ一応書きます
まず√2+√3を有理数と仮定する
2乗して5+2√6,これは有理数なので2√6も有理数
次に√6は有理数なのでp/qと整数の比で表せる(pとqは互いに素)
2乗して6=p^2/q^2, つまり6q^2=p^2・・・(1)
p^2は2の倍数なのでpも2の倍数、よって2rと表せる
(1)に代入して6q^2=4r^2 つまり3q^2=2r^2
これよりq^2は2の倍数なのでqも2の倍数
これは互いに素という仮定に矛盾する
よって√6は有理数ではない
ゆえに5+2√6も有理数ではない
したがって√2+√3は無理数である
こんな感じでよろしいでしょうか?
でもこれはあまり自分の質問と繋がらないと思うのですが
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
最近、いつ泣きましたか?
泣いてストレス発散! なんて言いますよね。 あなたは最近いつ、どんなシチュエーションで泣きましたか?
-
人生最悪の忘れ物
今までの人生での「最悪の忘れ物」を教えてください。 私の「最悪の忘れ物」は「財布」です。
-
ホテルを選ぶとき、これだけは譲れない条件TOP3は?
ホテルを探す時、予約サイトで希望条件の絞り込みができる便利な世の中。 あなたは宿泊先を決めるとき「これだけは譲れない」と思う条件TOP3を教えてください。
-
【大喜利】世界最古のコンビニについて知ってる事を教えてください【投稿~10/10(木)】
【お題】 ・世界最古のコンビニについて知ってる事を教えてください
-
架空の映画のネタバレレビュー
映画のCMを見ていると、やたら感動している人が興奮で感想を話していますよね。 思わずストーリーが気になってしまう架空の感動レビューを教えて下さい!
-
√nが有理数ならばnが整数 証明 なぜ √nが有理数ならばnが整数の証明の解答です。わからない部分が
数学
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・14歳の自分に衝撃の事実を告げてください
- ・架空の映画のネタバレレビュー
- ・「お昼の放送」の思い出
- ・昨日見た夢を教えて下さい
- ・【お題】絵本のタイトル
- ・【大喜利】世界最古のコンビニについて知ってる事を教えてください【投稿~10/10(木)】
- ・メモのコツを教えてください!
- ・CDの保有枚数を教えてください
- ・ホテルを選ぶとき、これだけは譲れない条件TOP3は?
- ・家・車以外で、人生で一番奮発した買い物
- ・人生最悪の忘れ物
- ・【コナン30周年】嘘でしょ!?と思った○○周年を教えて【ハルヒ20周年】
- ・ハマっている「お菓子」を教えて!
- ・最近、いつ泣きましたか?
- ・夏が終わったと感じる瞬間って、どんな時?
- ・10秒目をつむったら…
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・都道府県穴埋めゲーム
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
命題「PならばQ」でPが偽ならば...
-
数学の証明の問題です。
-
命題論理に関する英単語
-
数Ⅰの問題です x,yは実数、nは...
-
数学の背理法について質問です...
-
a>0、b>0⇔a+b>0、ab>0
-
数独 次の一手を教えてください
-
ドモルガンの法則、対偶、三段論法
-
背理法について
-
これであってます?(図形)
-
証明問題です
-
数学で出てくる十分性と必要性...
-
ヘンペルのカラスについて(論...
-
数学の問題です! 教えてくださ...
-
nが自然数のとき、2^n +1 +3^2...
-
高校数学です!m,nを整数とする...
-
強い仮定、弱い仮定、とは
-
数学的帰納法の根本的な疑問な...
-
ウェイソン選択課題について悩...
-
この問題の逆 裏 対偶と真偽と...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
命題「PならばQ」でPが偽ならば...
-
a>0、b>0⇔a+b>0、ab>0
-
n=3の倍数ならば、n=6の倍数で...
-
「逆もまた真なり」について
-
命題を証明せよとはどういう意...
-
高校数学です!m,nを整数とする...
-
強い仮定、弱い仮定、とは
-
数学の背理法について質問です...
-
命題論理に関する英単語
-
「逆は必ずしも真ならず」の証...
-
数学の論理学的な質問なんです...
-
数Ⅰの問題です x,yは実数、nは...
-
数学的帰納法の根本的な疑問な...
-
青チャートに、「命題p⇒qの否定...
-
数学。「次の命題の真偽を調べ...
-
対偶法による無理数の証明につ...
-
a,bが有理数として√6が無理数を...
-
nは自然数 n^2と2n+1は互いに素...
-
AでなければBでない の対偶は?
-
a.bが定数で任意のε>0に対してa...
おすすめ情報