中学生1年です。
とあるきっかけで、モンティ・ホール問題を見ました。

3つのドア(A,B,C)に一つは車(?)、もう二つにはヤギが入ってます。

解答者「じゃあ、Aを選びます。」

司会者「分かりました。それとBはヤギ(ハズレ)です。
今なら、Cとかえても良いですよ?」

正解は変えた方が確率は高い、と見ました。

全く分かりません・・・
2つあって、普通に1/2ではないんですか?

中学1年なので確立の問題(?)は、習っていません。
でも分数は分かります!(笑)

出来れば「分かりやすく」、教えて頂けませんか・・・?
よろしくお願いします。

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A 回答 (8件)

参考までに



3つのドアの部分を100個のドアの場合に拡張して考えて、
そのドアのうちひとつだけに車が入っている場合を考えたらどうでしょう?
解答者の選んだところ以外の99個のヤギの入っているドアのうち
98個のドアを司会者は空けていき、残ったドアは
はじめに解答者が選んだドアと、司会者が残したドアの二つがあります。

あなたが解答者であったら司会者が残したドアの方に変えたくなりませんか?
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> 2つあって、普通に1/2ではないんですか?



4ヶ月ほど前ですが、私も質問者さんと全く同じ疑問を持ちました。
でもこのサイトで質問して回答をもらい、あれこれ考えてみるうちにハッと理解できました。

↓そのときのQ&Aが参考になるかも知れないので、見てみてください。
http://virus.okwave.jp/qa5387533.html

問題のキモは「司会者は正解を知っている」ということです。
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この回答へのお礼

ここで全体のお礼を言います。

よーく分かりました!

100個のドアだったら、分かりやすいですね!
1/100を最初っから当てるのは凄いですからね・・・

ありがとうございました!

お礼日時:2010/03/04 20:11

確率をやる人の大好きな問題ですね。



まっさらな状態でAに車が入ってる確率は1/3というのは確率を特別勉強してなくてもわかりますよね。
たとえば何を言われても変えない!と決めている人が、Aを選んでから出題者にBはヤギですよと言われて変えなかったら当たる確率は1/3から変わるでしょうか?

そうです。その人が1/3でそれを選んだ時点で、何を言われたって1/3です。ということは、「何を言われても変えない!」と全く逆の人(=B、Cのうちヤギの入ってる方を見せられたら変えると決めてる人)が2/3で当たることを意味してます。

狐につままれたようなロジックに聞こえますよね?でも合ってるんです。これが。
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質問文の中に「誤解を招く」表現がありましたので、訂正をお願いします。


> 司会者「分かりました。それとBはヤギ(ハズレ)です。今なら、Cとかえても良いですよ?」
「それ(A)がはずれ」だとは言っていません。Aについては言及していません。
「それと」が「ついでながら」という接続詞なら話は別ですが。
Bがハズレだと「言った」のではなく、黙ってBのドアを開けて、ヤギであることを見せたのです。
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#3です。


「確率」という概念を使わないで、もっとレベルの低い「場合分け」の方法でも解けます。
まず、Aは「最初に決めたドアを変えない主義」の人、Bは「最初に決めたドアを変える主義」の人とします。それぞれ900人います。

平等な場合分けをすると、
(1)当たりが第1ドアにあり、最初に第1ドアが選ばれる。
(2)当たりが第1ドアにあり、最初に第2ドアが選ばれる。
(3)当たりが第1ドアにあり、最初に第3ドアが選ばれる。
(4)当たりが第2ドアにあり、最初に第1ドアが選ばれる。
(5)当たりが第2ドアにあり、最初に第2ドアが選ばれる。
(6)当たりが第2ドアにあり、最初に第3ドアが選ばれる。
(7)当たりが第3ドアにあり、最初に第1ドアが選ばれる。
(8)当たりが第3ドアにあり、最初に第2ドアが選ばれる。
(9)当たりが第3ドアにあり、最初に第3ドアが選ばれる。
この9つの場合は平等に起こります。それぞれの場合について、A100人とB100人がチャレンジします。

場合(1)で当たりを得るのは、Aの100人です。
場合(2)で当たりを得るのは、Bの100人です。
場合(3)で当たりを得るのは、Bの100人です。
場合(4)で当たりを得るのは、Bの100人です。
場合(5)で当たりを得るのは、Aの100人です。
場合(6)で当たりを得るのは、Bの100人です。
場合(7)で当たりを得るのは、Bの100人です。
場合(8)で当たりを得るのは、Bの100人です。
場合(9)で当たりを得るのは、Aの100人です。

Aは900人のうち300人、Bは900人のうち600人が当たりを得ます。

ここで初めて「確率」という用語を使えば、
A主義者は当選確率 1/3
B主義者は当選確率 2/3
です。

もちろん、最初から確率で行くほうが「論理的には引き締まっている」方法です。それには「ベイズの定理」という便利な道具があります(高校でも習いませんが)。
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十数年前、この問題が専門誌に載って話題になったとき、多くの数学者(それも大学教授レベル)が「討ち死に」しました(みごとに間違えました)。

間違えた人の中で、出題者の悪口を書いた人は、氏名を公表されて恥をかきました。ハンガリーのエルディシュという大数学者も、なかなか正解を認めようとしませんでした。ですから、中学生が間違えるのもムリはありません。「変えたほうが有利」であることは、すでに確定しています。私はモンテカルロ法を使って証明しました(コンピューターの中でこのゲームを100万回やらせました)。100万回のうち、約67万回は「変えてトク」をしました。解析的に調べるなら、その前に「事前確率」という概念をよく勉強する必要があります。
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モンティ・ホール問題は


このサイトが分りやすいですよ。

参考URL:http://ishi.blog2.fc2.com/blog-entry-182.html
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「それ(A)とBはヤギです。

」と言っているのだから、
司会者の言うことを信じるのなら、
車が入っているCに変えたほうがよいでしょう。
司会者を信じないならば、何も聞かなかったのと同じですから、
最終的にどれを選んでも、当たる確率は1/3のままです。
(モンティ・ホール問題とは、話が違うようですが。)

この回答への補足

それ→it
的な意味で解釈はしないで下さい・・・

あ・こ・そ・ど言葉の そ ではないです。

補足日時:2010/03/04 20:13
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みたいな問題です(わかりづらくてすみません)。

Aベストアンサー

モンティホール問題は、最終状態から見た直観的な確率と、そこに至るまでの経緯を考慮に入れた確率には違いがあるということです。

もう少しわかり易い例を挙げると、
パチンコ台のように釘をたくさん打ち付けた板の下に、箱が100個あります。
パチンコ台の上からボールを落とすと、必ずどれかの箱に入りますが、どの箱に入ったかはわかりません。

さて、ボールを落として箱に入れたあと、質問者様が箱を1つ指定します。この箱にボールが入っている確率は1/100ですね。
ということは、残りの99個の箱にボールがある確率は99/100です。
ボールが入っている箱を知っている人が、「ここにはないですよ」と見せていくわけですが、このとき、質問者様が100個の箱から1個を選んだ、という事実に変化は起きません。
つまり、質問者様が選んだ箱にボールがある確率は常に1/100で、それ以外の箱にボールがある確率は常に99/100です。
たとえ、司会者が質問者様が選んだ箱と、それ以外に1個を残したとしても、質問者様の選んだ箱にボールがある確率は1/100で、もう一つの箱にある確率は99/100になります。

でも、ここまでの経緯を知らない人が選ぶ場合は、どちらかに入っているわけですから、1/2になる、ということです。



極端な例で言えば、2つの箱のどちらかにボールを入れるとして、どちらに入っているかわからない人にとっては当たる確率は1/2ですが、ボールを入れた人から見れば、どちらかが100%で、もう片方は0%なわけです。
この「ボールを入れた人から見れば…」というところに不確定要素を入れて確率の問題的にしてあるのがモンティホール問題です。

モンティホール問題は、最終状態から見た直観的な確率と、そこに至るまでの経緯を考慮に入れた確率には違いがあるということです。

もう少しわかり易い例を挙げると、
パチンコ台のように釘をたくさん打ち付けた板の下に、箱が100個あります。
パチンコ台の上からボールを落とすと、必ずどれかの箱に入りますが、どの箱に入ったかはわかりません。

さて、ボールを落として箱に入れたあと、質問者様が箱を1つ指定します。この箱にボールが入っている確率は1/100ですね。
ということは、残りの99個の箱にボールが...続きを読む

Q林先生VS世界の超天才のモンティホール・ジレンマ

本来は、TV番組のカテかもしれませんが、
こちらの方々の方が興味・関心を持って観ていらしたと
思われますので、是非ご回答お願いします。

東海地方では、昨夜、林先生VS世界の超天才という番組が放映され、
その中で、天才としてサヴァント女史が取り上げられていました。

当然、モンティホール・ジレンマの一件が出てくるわけで、
その説明を東進ゼミ?の同僚の先生がされていましたが、
それが、「トンデモ」説明だったようなのです。

私は、他ごとをしながらチラ見してたので、
よく分かりませんが、
「1万件のクジで、9998件ハズレが出たら、
あなたは、当然、答を変えるでしょ」的な説明だったのです。

ここで重要なのは、9998件のハズレを見せた人が
「それらがハズレであることを知っていて見せた」かどうかですが、
説明した人は、そこに言及しましたか?

前置きが長くてスミマセン。
質問は、知っていてハズレを示したか、という核心部分です。
宜しくお願いします。

私は企業で統計を推進する部署にいるんですが、
こういうのって、社内で問合せがあるのです。
(特に偉い人、わからんかったので説明しろ、とか・・・)

本来は、TV番組のカテかもしれませんが、
こちらの方々の方が興味・関心を持って観ていらしたと
思われますので、是非ご回答お願いします。

東海地方では、昨夜、林先生VS世界の超天才という番組が放映され、
その中で、天才としてサヴァント女史が取り上げられていました。

当然、モンティホール・ジレンマの一件が出てくるわけで、
その説明を東進ゼミ?の同僚の先生がされていましたが、
それが、「トンデモ」説明だったようなのです。

私は、他ごとをしながらチラ見してたので、
よく分かりませんが、
「1...続きを読む

Aベストアンサー

#10さん
まさに、私も、#5の回答の段階では、あなたと全く同じように「とにかく結果としてハズレが示されたこと」のみが重要であって、扉を開けた人が正解を知っていたかどうかは本質ではない、と考えていました。

しかしながら、#8に計算を示しましたが、モンティがあらかじめ正解を知っていて意図的にハズレの扉を開けた(さらに、モンティがあらかじめ正解を知っているという事実をプレイヤーも知っている)、のと、正解を知らないモンティがたまたまハズレの扉を開けた、のでは、状況が全く違うことになってます。

#8の計算から言えることは、
・モンティがあらかじめ正解を知っている(したがって100%の確率でハズレの扉を開ける)
(かつ、プレイヤーも、このの事実を知っている)
という条件が成り立つ場合は、プレイヤーが選択を変えないと正解の確率は1/3になる(したがって選択を変えたほうが良い。)

一方で、モンティがたまたまハズレの扉を開けた場合であれば、選択を変えないプレイヤーの正解確率は1/2、したがって、選択を変える必要はない

ということです。


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