経験者＆専門の方求む

先ほど「対数の真数」で質問させていただいたのですが、ご回答をもらってもいまいちモヤモヤ感がとれません。
なので引用させてもらいますが経験者また専門の方にお聞きします。（詳しくは「対数の真数」をご覧になられたらと思います。）

　log|1＋ｘ|　（0＜ｘ＜1）
のような簡単なものなら[log(1＋ｘ)][0 to 1]としていいことは直感的にわかるのですが
　絶対値内がもっと複雑な式でかつ与えられた積分区間内で
　|　～～　|＝～～　（～～＞０）
となるときは計算最中には瞬時に分からないからとりあえずは
　[log|～～|]　
　と書いておいてこれに値を代入して計算していってもいいのか？

　言い換えると[log(1＋ｘ)][0 to 1]　も　[log|1＋ｘ|][0 to 1]　も表記として間違いはないのですか？

　絶対値内で符号変化が起こる場合についての処理の仕方は分かっています。それを前提として教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： B-juggler 回答日時： 2010/03/10 03:50

こんばんは。

前のも見ました。代数学屋です。非常勤だけどね（＾＾；

積分可能なのかどうか？　早い話、ｌｏｇのなかが　０以下に
ならないことが、確認できればどうやっても構わない。

これに尽きると思いますよ。

解析学のところで、いろいろと出て来るんだろうけど
そのつどきちんと計算できれば、何の問題もないことです。

多分、レベルの高い所にいるんだろうから、
さらっと流したほうがいい。
計算できればそれで問題ない。

こんなとこで、ごたごたやっていても、もちろんマイナスではないけど
もっと先があるから！

がんばっていこう！

No.5 回答者： yaki_29_u 回答日時： 2010/03/13 03:00

僕が良くわからないのは、log|　～～　|＝log(～～)　（～～＞０）

が既知な時点でlog|～～|と書く理由があるのか。

もし、計算の最中に瞬時に解からないのなら、log|～～|と書くべきだけど、解からないケースでは積分してはいけない（対数の真数の積分式参照のこと。実は、aもしくはbの区間内に0が含まれてはいけないという条件がある。 ）。積分区間として正から負へ変数が連続的に変化するばあい（積分は連続性が保障されれ始めて定義できる）、～～が何であれ、この被積分関数は連続関数として定義できないからです。解く前に条件として与えられていないと積分できないですから。

大学一年くらいになると、ちゃんと連続性とかやるので。
微分積分の大学生向けの本とか読んでみるといいですよ。
連続性の問題が根源にあります。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2010/03/09 17:37

前回質問でも、書きましたが…

log｜f(x)｜ の f( ) がたとえ複雑な式で
面倒だったとしても、
f(x) の符号は、確認しなければなりません。
とりあえず一旦、絶対値つきの式で書くことは
構いませんが、
どこかで一度、符号を調べなくては。
積分区間内で f(x) が符号変化すると、
積分は発散してしまうからです。
f(x) の符号が一定だと確認したとき、
正で一定か、負で一定かは、解ることですから、
その後では、絶対値記号を残す必要は
なくなります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。　いろいろな回答を見たところ人によって
いろいろ違った回答をくださるので自分の中では論理的に間違いなければよしという結論に達しました。

お礼日時：2010/03/09 18:58

No.2 回答者： noname#29493 回答日時： 2010/03/09 13:33

ごめん。

よく考えたら積分可能かどうか考えなくてはいけなかった。
あくまで積分可能である区間として定義してしまったから
「どんな区間でも」というのは間違い。
>>実際積分区間を[-3,3]などとして
∫(1/x)dx＝[log|x|＋C](-3≦x≦3)で計算すると0
これ間違えました。すいません。0とは限らず値として存在しません

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。　いろいろな回答を見たところ人によって
いろいろ違った回答をくださるので自分の中では論理的に間違いなければよしという結論に達しました。

お礼日時：2010/03/09 18:57

No.1 回答者： noname#29493 回答日時： 2010/03/09 13:00

私は

log|x|＋C＝∫(1/x)dx　・・・・(1)　を定義だと思っています。(Cは積分定数)
だから
∫1/(x＋1)dx＝log|x＋1|＋Cなのです。
もっと言えばf(x)は微分可能でf(x)≠0として
∫(f'(x)/f(x))dx＝log|f(x)|＋Cが定義でこれから(1)は分かります
表記として定義にしたがって計算するのが正しいので
[log(1＋ｘ)][0 to 1]ではなく[log|1＋ｘ|][0 to 1]であるべきだと思います。
素直に積分区間がどうれあれ絶対値はつけるべきです。
実際積分区間を[-3,3]などとして
∫(1/x)dx＝[log|x|＋C](-3≦x≦3)で計算すると0で
xの中身の値がどうのこうの考えず、絶対値でもとめられるもんです。
もういちど言いますが、絶対に
∫(f'(x)/f(x))dx＝log|f(x)|＋C　が定義だから！というのは忘れないでください。