数学赤チャートIIIの例題31「ガウス記号と極限」について、質問です。
わからないところが多いので、面倒かもしれませんが、何とぞよろしくお願いします。
問題
既約分数0<p<qについて 数列{an}(0≦an≦1)を
an=np/q-[np/q] (n=1,2.3・・・・・・・) で定める
(1)n-mがqで割り切れるとき、an=am を示せ
(2)a1,a2・・・・・・aq は相異なるq個の数であって
さらに a1+a2・・・・・・・・・・・+aq=q-1/2 を示せ
(3)
n→∞ のとき (a1+a2+・・・・・・・・・・・an)/n を求めよ
こんな問題なんですが、
質問1.(2)についての回答に、1≦m<n≦q である整数m nについて、am=anと仮定すると…とあるんですが、なんでm<nなんですか?
質問2.(2)の回答に、a1+a2・・・・・・・・・・・+aq=q-1/2 を示せ。の回答で、
{a1,a2,a3,…aq}={0,1/q,2/q,…q-1/q}とあります。この、0,1/q,2/q,…q-1/qは、
どうやって出した答えですか?定められた、式からは、この答えは出ません。
質問3.(3)について、n=kq+r(k,rは整数で、0≦r≦q-1)とありますが、0≦r≦q-1の範囲が出てきたのがよくわかりません。
以上なんですが、こんなこともわからないのかと言われそうですが、コツコツ独学を進めているゆえに、何とぞ詳しく解説していただけるとありがたい次第です。
お忙しい中申し訳ないですが、よろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
こんにちわ。
解答(解説)でどのように言いまわされているのかがわからないので、
なんとも言いきれないところもあるのですが・・・
>質問1.
おそらく「背理法」から、互いに異なることを示そうとしていると思うのですが、
m= nでは同じ項を扱っていることになりますね。
調べなくていい(同じ項がから同じ値になるのは当たり前)ということで、省いているということだと思います。
>質問2.
たとえば、n= qのとき an= 0ですよね。
もとの式 np/q-[np/q]がもつ「意味」をよく考えてみるとわかります。
この式から求められているのは、「np/qの小数部分」ということです。
npを qで割った「余り」のようなものであり、(なんとか)/qの形がずらっと並んでいるということです。
そして、(2)の前半の証明から互いに異なること。
すなわち、(なんとか)/qが互いに異なるとあるので、{a1,a2,a3,…aq}={0,1/q,2/q,…q-1/q}となっていないといけないということになります。
a1=○, a2=△,・・・ではなく、「要素」として書かれているのは、
「どれがどれとは言えないが、集めるとこの要素が含まれている」という意味からです。
具体的に数字で考えてみれば、q= 3であれば
{0, 1/3, 2/3}の 3パターンになっている。そして、これが「周期的」に現れることになります。
この周期性は、(1)の証明から述べることができます。
((1)の証明が持つ「意味」がこれです。)
>質問3.
上記の「余り」という意識を持てば理解できるのでは?と思いますが、いかがですか?
この問題はガウス記号とか書かれていますが、基本は「余り」に関する内容です。
余りが持っている周期性と一意性(周期の中では値が異なる)ことを利用している問題になります。
まず、初めに遅くなりましたことを深々とお詫び申し上げます。
このようにご親切な解説は実は、期待していなかったのですが、もう感無量なぐらい親切すぎて理解通り越して、なぜわからなかったんだと恥ずかしい次第です。
本当にありがとうございました。
また、是非とも、よろしくお願いいたします。
No.1
- 回答日時:
(1)
m<nじゃなかったらmとnを入れ替えて,変数名を付け替えればm<nになるでしょ。
(2)
q個の数はすべて異なることと,すべてq分のなんとかになることが分かれば,a1,a2,a3,…,aqと0,1/q,2/q,…,(q-1)/qは全体として同じものになってるはずでしょ。
(3)
rはnをqで割った余りだと考えれば必ず0≦r≦q-1に出来るでしょ。
遅くなりましたことをお詫びいたします。
素早い回答、まことにありがとうございます。
簡潔に、あっさりでしたが、よくわかりました。
ぜひともまた、よろしくお願いいたします。
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