理想気体が状態1（Ｐ1，Ｖ1，Ｔ1）から状態2（Ｐ2，Ｖ2，Ｔ2）に可

理想気体が状態1（Ｐ1，Ｖ1，Ｔ1）から状態2（Ｐ2，Ｖ2，Ｔ2）に可逆変化するとき、定温→定積変化を考えるとエントロピー変化は
ds＝ｎ（Cv,mln(T2/T1)+Rln(V2/V1))....(1)
さらに定温→定圧変化を考えるとエントロピー変化は
ds＝ｎ（Cp,mln(T2/T1)-Rln(P2/P1))....(2)

ここからが質問ですが、(1)＝(2)になる理由がわかりません。
証明をしながら教えてくれると、とてもうれしいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： jamf0421 回答日時： 2010/07/03 22:22

一応変化の各状態を逐次見てみましょう。

ガスは1 molとします。
準静的定温変化(P1,V1,T1)→(P2,V2,T1)；温度を一定にしたあとでPかVのどちらか一方だけ変えるわけにはいきません。理想気体の内部エネルギーは温度のみに依存するので、
dU=dQ-PdV=0...(1)
w=-∫PdV=-RT1∫(V1→V2)(1/V)dV=-RT1ln(V2/V1)...(2)
Q=-W=RT1ln(V2/V1)...(3)
もしこれが膨張で仕事をしたのならQはプラスで熱をもらいます。エントロピー変化は
ΔS1=RT1ln(V2/V1)/T1=Rln(V2/V1)...(4)
です。もちろん起こったことが体積の収縮でもかまわないです。そのときはエントロピー変化がマイナスになるだけです。

準静的等積変化（P2,V2,T1)→（P2,V2,T2);等積変化ならPdV=0です。（とはいうもののこれは等圧変化でもあり、ちょっと変ですね。）温度が上がるなら内部エネルギーが上がっていますから吸熱が起こります。温度が下がるなら発熱です。今度は定温でないのでエントロピー変化を直接計算します。
ΔS2=∫(T1→T2)dQ/T=∫(Cv/T)dT=Cvln(T2/T1)...(5)
だから合計のエントロピー変化は
ΔS=ΔS1+ΔS2=Rln(V2/V1)+Cvln(T2/T1)...(6)
です。

こんどは定温変化から定圧変化です。まず定温のところは前と同じで状態は(P2,V2,T1)になりエントロピー変化は
ΔS1=Rln(V2/V1)...(4)(再掲）
ただしP1V1=P2V2ですから、V2/V1をP1/P2と書くことができます。すると
ΔS1=Rln(P1/P2)=-Rln(P2/P1)...(4)'
となります。これは(4)と何も変わっていません。
定圧変化(P2,V2,T1)→(P2,V2,T2)；等圧変化というもののこれは等積変化でもありますね。同じ経路になるのでエントロピー計算も
ΔS2=Cvln(T2/T1)...(5)
です。質問者さんの(1)式と(2)式を比べると第二項はまったく同じものです。第一項はCvln(T2/T1)とCpln(T2/T1)で明らかに異なるものです。初期状態と到達状態が同じならエントロピー変化も同じである必要があります。どちらも(P1,V1,T1)から（P2,V2,T2)に変化した、というのならこの回答は変ですね。

No.1 回答者： c80s3xxx 回答日時： 2010/07/03 21:09

エントロピーは状態量だから，2状態間のエントロピー変化は，経路によらない．