行列・対角化可能の条件は？

行列で対角化可能の時の条件を教えて下さい。
問題で固有値、固有ベクトル、対角化可能の場合は対角化する正則行列を求めよ、とあります。
３×３行列で固有値が３つ、全て異なる場合は対角化可能。
固有値が１つ（３重解）の場合は対角化不可。
では、固有値が２つの場合は対角化可能と不可の場合がありますが、これはどのようにして見分けるのでしょうか？
例えば

　　　－３　－２　－２
B＝[　２　　１　　２　　]
　　　　２　　２　　１

　の時、固有値は１、－１（重解）ですが対角化可能です。なぜでしょうか？宜しくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： keyguy 回答日時： 2003/07/16 22:31

きりがないので前後の文脈から書き間違いを訂正してください。

３×３行列が正則行列で対角化可能であるための必要十分条件は「３つの独立な固有ベクトルを持つこと」です。
相異なる３つの固有値を持てば３つの独立な「固有ベクトル」を持つので対角化可能です。

２つの相異なる固有値しか持たない場合の例：
０００
０１０
００１
は対角化可能であり
０００
０１１
００１
は対角化不可能である。
１つの固有値しか持たない場合：
１００
０１０
００１
は対角化可能であり
１１０
０１０
００１
は対角化不可能である。


従って
固有値が１つ（３重解）の場合は対角化不可。
はうそです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
独立な固有値の数を調べてみたら、うまくいきました。
遅くなりましたが有難うございました。

お礼日時：2003/07/21 15:06

No.1 回答者： keyguy 回答日時： 2003/07/16 22:29

３×３行列が正則行列で対角化可能であるための必要十分条件は「３つの独立な固有ベクトルを持つこと」です。

相異なる３つの固有値を持てば３つの独立な固有値を持つので対角化可能です。

２つの相異なる固有値しか持たない場合の例：
０００
０１０
００１
は対角化可能であり
０００
０１１
００１
は対角化不可能である。
１つの固有値しか持たない場合：
１００
０１０
００１
は対角化可能であり
１１０
０１０
００１
は対角化不可能である。


従って
固有値が１つ（３重解）の場合は対角化不可。
はうそです。