証明の順序について

証明の順序について

三角形の内角の和を証明する際に錯角と同位角を用いますが、同位角の証明に三角形の内角和を用いています。少し矛盾を感じるのです。

同位角の証明で使われる三角形は直角三角形なので長方形から内角和を証明できますが、
三角形の内角の和の証明を調べてもその事には触れていません。

実際のところ、三角形の内角和の証明の前提条件に直角三角形の内角和は含まれるのでしょうか？
ご指導願います。

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/08/17 23:54

「原論」での話の順番でいくと、

平行線の錯角が等しいことの証明には、三角形の内角の和は使いません。
だから、循環論法にはなりません。

第五公準(俗に平行線公理と呼ばれるもの)の文言を確認してください。
日本語訳の一例は…
「直線が２直線と交わるとき、同じ側の内角の和が２直角より小さいなら、
この２直線は限りなく延長されたとき、内角の和が２直角より小さい側
において交わる。」です。
これの対偶をとって、２直線に交わる直線の両側を考えると、
「２直線が交わらないなら、この２直線が他の直線と交わるとき、
同じ側の内角の和は２直角である。」とできます。

これと、補角の和は２直角であることとを併せると、
平行線の錯角は等しいことが言えます。

この回答へのお礼

第五公準の対偶を考えれば良かったんですね。
納得できました、有難うございます。

お礼日時：2010/08/18 21:59

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/08/17 00:11

こんばんわ。

少し調べてみましたが、どうも「同位角」の証明は「2直線が平行だから」ということで片づけられてしまうようです。

参考：平行線公理から平行線の同位角や錯角が等しいことの証明のしかたについて
http://okwave.jp/qa/q1438113.html
（錯角となっている 2つの角のうち 1つの対頂角をとると、もう 1つの角と同位角になっている。）

中学生向けの説明になると、「2直線が平行なとき、同位角は等しくなる（ものだ）」と書かれているものもあります。


間違っていたことを書いていたら、すみません。
公理系が出てくるので、ちょっと自信ないところも・・・。＾＾；

この回答へのお礼

参考にさせてもらいます。

私の見たものでは並行する2直線に斜線Aが引かれて、更に平行線に垂直な直線を引くことで、直角三角形を作っていました。

ちょうど上側の平行線を底辺とするものと下側の平行線を底辺とする相似な直角三角形です。で、直角三角形の内角和から、頂点の角は共通、後、直角も共通で、残りの角(同位角)も等しくなるという寸法です。

直角三角形の内角和は長方形の内角和＝360÷2で証明してました。

お礼日時：2010/08/18 22:05