算数の難問

算数の難問
娘の学校の宿題で質問されたのですが答えられません。「学校にロッカーが1000個、扉を閉めた状態で並んでいます。最初の生徒がすべての扉を開けます。2番目の生徒は2番目、4番目、6番目、、、の扉を空けていきます。3番目の生徒は、3番目、6番目、9番目、12番目、、の扉の状態を変えていきます（開いている扉を閉め、閉まっている扉を開ける）。このようなパターンで、1000人の生徒が扉の開け閉めをした場合、最後に、どのロッカーの扉があいており、どのロッカーの扉が閉まっているでしょうか？　単に答えだけでなく、理由を説明しなさい」　扉に番号を振り、その数字の約数の数が偶数か奇数かで開閉が決まるというところまでは思いついたのですが、どう説明したらいいでしょうか？

No.9 回答者： hamaame 回答日時： 2010/08/31 20:42

最初の生徒の行動も繰り返すパターンに含まれるんですよね？

ならちょっとした引っ掛け問題じゃないですか？これ。

説明を簡単にするために生徒の行動を下記のようにおきます。
パターンA＝すべての扉を開ける
パターンB＝2,4,6,…番目の扉を開ける
パターンC＝3,6,9,…番目の扉の状態を変える

1000人で上記の3パターンをまわしていくわけですから、n番目の生徒がどのパターンに該当するかは1000÷3の余りで求められます。
つまり、余り1ならA、余り2ならB、余り0ならCです。
そして1000÷3の答えは333余り1なので、最後にロッカーを開閉する1000人目の生徒はパターンAです

なので、答えは「全てのロッカーの扉が開いている」で、
理由は「999人の生徒でa,b,cの3パターンを333セット繰り返した後、1000人目の生徒が全てのロッカーの扉を開けるから」です。

No.8 回答者： juju6onchu 回答日時： 2010/08/28 11:52

Ｎｏ５，７です。

細かいことですが、Ｎｏ７に書いた「Ｎｏ３の方も・・」は「Ｎｏ４の方も・・」の間違いです。
お詫びして訂正します。

No.7 回答者： juju6onchu 回答日時： 2010/08/28 09:32

Ｎｏ５です。

追記です。

忘れてましたが、Ｎｏ３の方が仰有っているように、「約数の個数が奇数」＝平方数，
「約数の個数が偶数」＝平方数でない数、になります。

※ただ、「平方数」＝「ある自然数を二乗した数」という言葉は、小学校では習いません。
「二乗」もそうですね。
なので、「同じ自然数を二回かけて出来る(た)数」などと言うと良いかも知れません※

さて、何故そうなるかは、小学生的に約数を書き並べるのが一番よく分かるので、

約数は普通「大小でペア」ができますから
（１２の約数ならば、１，２，３，４，６，１２のうち、かけて１２になる「１と１２」，
「２と６」，「３と４」がそれぞれペアになりますね）
そういう「普通」の数の約数の個数は・・偶数個です。

では約数の個数が奇数個になるのは？・・・真ん中に一個、「ペアにならない数」が残るときで、
つまりその数を二回かけて出来る数、平方数のときですね。

ということで、より綺麗な解答は、「平方数番目があいており，それ以外は閉まっている」ですね。

※１０年近く前に、数学オリンピックの日本の１次予選で本質的に同じ問題が出ました。
多分今の１次予選はずっと難しいですが。


一番目のロッカーから順に、子供と一緒に実験してみて、なるべく自分で気付くように
誘導できたら最高ですね。
（しかし最近の小学校は・・。娘さんの学力のレベルは存じ上げないので何とも言えませんが、
難しい問題なので、気楽に楽しまれたら良いと思います）

No.6 回答者： nattocurry 回答日時： 2010/08/28 09:31

「2番目の生徒は2番目、4番目、6番目、、、の扉を空けていきます。

」と書いていますが、「2番目の生徒は2番目、4番目、6番目、、、の扉の状態を変えていきます。」の間違いですよね？

「どのロッカーの扉があいており、どのロッカーの扉が閉まっているでしょうか？」ということは、1000個のロッカーすべてについて、それぞれの状態を答えなきゃならないんですよね？

1番目のロッカーの状態を変えるのは、1番目の生徒。
2番目のロッカーの状態を変えるのは、1番目の生徒と2番目の生徒。
3番目のロッカーの状態を変えるのは、1番目の生徒と3番目の生徒。
4番目のロッカーの状態を変えるのは、1番目の生徒と2番目の生徒と4番目の生徒。
5番目のロッカーの状態を変えるのは、1番目の生徒と5番目の生徒。
6番目のロッカーの状態を変えるのは、1番目の生徒と2番目の生徒と3番目の生徒と6番目の生徒。
7番目のロッカーの状態を変えるのは、1番目の生徒と7番目の生徒。
8番目のロッカーの状態を変えるのは、1番目の生徒と2番目の生徒と4番目の生徒と8番目の生徒。
9番目のロッカーの状態を変えるのは、1番目の生徒と3番目の生徒と9番目の生徒。
10番目のロッカーの状態を変えるのは、1番目の生徒と2番目の生徒と5番目の生徒と10番目の生徒。

このように、ある程度のサンプルを調べてみると、ロッカーの番号の数字の素因数番目の生徒がロッカーの状態を変えることが解りますね。

ところで、1から1000までの数について、それぞれが素因数をいくつ持つのか、素因数分解をして調べなきゃならないですよね。
何時間かかるんでしょうか？
1つの数につき3.6秒しかかからないとしても、1000の数だと3600秒＝1時間ですよ。

No.5 回答者： juju6onchu 回答日時： 2010/08/28 08:59

１つのロッカーに着目して説明すると良いですよ。

例えば１０番のロッカーならば、１０がその数の倍数になる数、つまり１０の「約数」番目
（つまり１，２，５，１０番目）の生徒達のみが開け閉めをしますから、
約数の回数だけ開け閉めがなされるわけですね。

これはどのロッカーについても言えますから、どのロッカーも、番号の約数の回数だけ開け閉めが
なされる訳です。

※必要ならば他のいくつかの数で確かめさせると良く納得できると思います。

（良くお分かりでしょうから）もう蛇足ですが、

最初が閉まっていると言うことは、一回目で・・？　・・・開く。
二回目で・・？　・・閉まる。

とゆー感じで子供に確認していって、一回ごとに変わるから、「奇数回開け閉めしたら開いており，
偶数回開け閉めしたら閉まっている」ということに自分で気付かせられたら最高やと思います。

後はそれこそ蛇足なのでこの辺で・・。ｍ(＿)ｍ

No.4 回答者： okormazd 回答日時： 2010/08/28 08:39

状態を反転する可能性のある数，すなわち約数の数（1とその数も含める）を数えます。

約数の数は相手があるので，必ず偶数になります。
たとえば，6は，
1,2,3,6
で，
１の相手の6，2の相手の3で，約数の数は4個（偶数）です。
ところが，4は，
1,2,2,4
で，
約数の数は4個（偶数）ですが，2がダブっているので，状態を反転する約数の数は1つ減って3になり，奇数になります。状態を反転する約数の数が奇数なので，状態は，初めの状態から反転することになります。
こうなる数は，1,4,9,16,・・・・
の平方数です。
したがって，1000までの平方数が，初めの状態から反転することになります。

小学生の問題としては，難しいと思います。

No.3 回答者： B-juggler 回答日時： 2010/08/28 05:51

こんばんは。

えっと、１０００個はいきなり大きいので、少し減らしましょう。

１０個ね　ヽ（・∀・）ノ　ワチョーイ　

一人目の生徒：全部開ける　（全開です）　　　　○○○○○　○○○○○　←○が開いているロッカー
二人目　　　：２，４，６，８，１０番を閉める　○×○×○　×○×○×　←×が閉まっているロッカー
（これであっていますか？）
３人目　　　：３，９番を閉め、６番をあける。　○×××○　○○×××
４人目　　　：４，８番をあける　　　　　　　　○××○○　○○×○×
５人目　　　：５番を閉め、１０番をあける。　　○××○×　○○×○○

もう一人やってみますか。
６人目　　　：６番を閉める。　　　　　　　　　○××○×　×○×○○

以下略ヽ（・∀・）ノ　ワチョーイ　

大体の見当がつけばもういいでしょう＾＾；

一番のロッカーは、空きっぱなしのはずですね。
　＃ほかに誰も触らないのですから。
同様に、２番も、閉まったら閉まりっぱなし。
三番もそうですね。４番も５番も。

小さい順にロッカーを開け閉めするのですから、１１１番目のロッカーは
１１１人目以降は触りませんね♪

後は数の大きいロッカーが、何回触られるか数え上げるだけでいいのかな。

１１１番なら、１，３，３７，１１１　（間があるかな？）　４回だから閉じられていると思うのですが

素因数分解をやって、約数を数えるのが早いのかな。

小学校の問題にしてはすごく難しいね～～～

ｍ（＿　＿）ｍ

No.2 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/08/28 05:44

ロッカーを□であらわして、

□□□□□…□□□

と並んでいるとしましょう。
生徒はこの列を横切るときに扉を開け閉めするのではなく、コインを置きます。

一人目の生徒
□□□□□…□□□
１１１１１１１１１

二人目の生徒
□□□□□…□□□
１１１１１１１１１
　１　１　１　１　

三人目の生徒
□□□□□…□□□
１１１１１１１１１
　１　１　１　１　
　　１　　１　　１


てな感じでロッカーの前にはコインが積まれていきます。
コインの数が開け閉めの数になるので、ロッカーの前に積まれたコインが偶数なら閉まっているし、
奇数なら開けられています。

容易に気付くように、一人目の生徒は 1 の倍数(すなわち全て)のロッカーの前にコインを置きます。
二番目の生徒は 2の倍数のロッカーの前にコインを置いて、三番目の生徒は 3の倍数のロッカーの前にコインを置くでしょう。

そう。tomo1962 さんが気付いたように、ｎ番目のロッカーの前にコインを置くのはｎの約数番目の生徒です。

さあ、自然数ｎの約数の個数が偶数か奇数かをどのように判断したらよいか考えましょう。

No.1 回答者： goomooku 回答日時： 2010/08/27 21:46

すいません。

一番最初の生徒さんは、すべての扉を「閉める」のでしょうか？
念のため、教えてください。