y=x^(x^(x^(x^(x^(x^…の定義域は

y=x^(x^(x^(x^(x^(x^…の定義域は
[e^-e,e^(1/e)]と書かれていた本を昔読んだことがあります。
（うろ覚えですが）

最大値がe^(1/e)であることは容易に示すことができたのですが、
最小値がe^-eであることはどうやって示せばよいのでしょうか。

ご存じの方がおられましたらご教授いただきたく、よろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2010/09/11 05:26

y=x^(x^(x^(x^(x^(x^…^(x^x)…)))))≡x^^x (0<x) (xは無限に並ぶ）…(A)

この関数で注意しなければならないことは
---------------------------------------------------------------
y=x^(x^(x^(x^(x^(x^…^(x^x)…)))))) (0<x) (xはn個並ぶ）…(B)
x→0の時 y→0or1となること
で
0^0^…^(0^0)=1 (0が偶数個並ぶとき)
0^0^…^(0^0)=0 (0が奇数個並ぶとき)
からx<<1のとき
(B)は多価関数となると推察される。
しかも xの数の偶数、奇数で関数が分かれる。
---------------------------------------------------------------
したがって(A)を考えるとき、偶数個のxを固まりにして考えないと上の性質を表現できない。
なので
(A)式の右辺をyで置換する場合
y=x^(x^(y)) (0<x≦e^(1/e))…(C)
とすることで(B)式のxの数の偶数、奇数の場合の性質を含ませることが出来る。
この(C)の関数は0≦x≦e^(-e)で多価関数になるので,この変域を除けば
定義域は次のようになる。
e^(-e)≦x≦e^(1/e)
この定義域でyの値域は
1/e≦y≦e
となります。

(C)のグラフを添付しておきます。

定義域の最小値はグラフからもわかりますが、(C)の関数式が多価関数にならない下限値
(y=1/eの時のx)として求めることが出来ます。

No.1 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/09/11 01:30

　単純に　０＜ｘ≦e^(1/e) だと思います。

　（つまり最小値なし。）

　与えられた関数を　x=y^(1/y)　と式変形してグラフを描画すれば一目瞭然だと思います。
　計算では、lim[y→+0] log(x)=-∞　から lim[y→+0] x=0 と分かります。