
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
1)回転運動の方程式は
慣性モーメント×角加速度=力のモーメント。
2)慣性モーメントについては
回転軸のまわりの慣性モーメント
=重心のまわりの慣性モーメント+質量×(回転軸から重心までの距離の2乗)。
重心のまわりの慣性モーメントはどこかに載っているはずですが、今の場合は M a^2 / 6 です。
3)角加速度は回転角の時間に関する2階導関数 (d/dt)^2θ です。
4)力のモーメント=力の大きさ×回転軸と力の作用線の距離。
ただし、力と回転角の方向によってプラス/マイナスを考慮する必要があります。
5)以上より式を立て、sinθ≒θ という近似を使うと
(d/dt)^2θ = -{3(√2)/4}(g/a)θ
という式が得られます。右辺にはマイナス符号が必要です。微分方程式を解く必要がないのであれば、ここの {3(√2)/4}(g/a) が求める角振動数の2乗であるとして、答えを求めます。
6)微分方程式を解くのであれば、上の式よりθの一般解を求めます。解は三角関数で表わされます。そこから角振動数を求めます。(上の式の右辺にマイナス符号がないと、解は指数関数になってしまい、振動を表すものにはなりません。)
なお、角振動数の「角」と回転角の「角」は意味が違うので混同しないように注意しましょう。
No.3
- 回答日時:
No.1です。
No.2さんが書かれているとおり
θ'' = -3√2 g/ (4a) θ
です。-が抜けていました。すいません。
角度の変化と逆方向へ回転させるモーメントがかかりますので-がつきます。
No.1
- 回答日時:
まず軸受を中心にしたこの板の慣性モーメントIは、
面密度σ=M/a^2より
I = M/a^2 ∫∫(x^2+y^2)dx dy (積分の範囲は0~a)
= M/a^2 * 2 * ∫∫(x^2)dx dy (積分の範囲は0~a)
= M/a^2 * 2 * a * 1/3 a^3
= 2/3 Ma^2
また重心にかかる力のモーメントは
N = Mg √2/2 a sinθ
θが十分小さいとして
N = Mg √2/2 aθ
よって回転の運動方程式 N = Iθ''('は時間微分)は、
Mg √2/2 aθ = 2/3 Ma^2 θ''
これより
θ'' = 3√2 g/ (4a) θ
よって
ω = √(3√2 g/ (4a)) = 1/2 √(3√2 g/a)
です。
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