物理の力学の問題について

斜面方向を高いほうへ地点Aから速さでV転がし上げます。
斜面と水平面がなす角度はθです。
重力加速度はgです。

ここで玉が地点Aに戻ってくるまでの時間Tが知りたいです。
そこで、Vを水平面と垂直な方向に分解しました。Vsinθです。
そして、Vsinθが0になるところが、到達最高点で、転がし始めてからT/2後なので、
Vsinθ-g*T/2=0　（速さについて）

これでTが出ると思うのですが、何故かうまくいきません。
間違えているところがありますか？
ちなみに解答は、Vでなく、gを成分に分解して、
VT-1/2gsinθT~2=0　（変位について）

としていましたが同じことではないのですか？
教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： egarashi 回答日時： 2010/12/04 19:13

それは玉にかかる垂直抗力Nが抜けているからです。

垂直抗力Nは斜面に垂直な方向に働くんで、あなたの設定した座標系で分解すると、

水平方向：-Nsinθ
鉛直方向：Ncosθ

となります。
なので、鉛直方向の運動方程式は次のようになります。

ma=Ncosθ-mg (1)

mは玉の質量、aは鉛直方向の加速度です。上向きを正としています。
ここで、Nは重力mgのうち斜面に垂直な成分mgcosθと等しい(作用反作用の法則)んで、

N=mgcosθ (2)

となります。
この時点で結局、重力を斜面に垂直な方向と斜面に沿う方向へ分解する必要があります…
(2)を(1)に代入します。

ma=mg(cosθ)^2-mg (3)

(3)は、

(sinθ)^2+(cosθ)^2=1 (4)

を使うと、次のように整理できます。

ma=-mg(sinθ)^2 (5)

(5)の両辺をmで割ります。

a=-g(sinθ)^2 (6)

これで鉛直方向の加速度が求まりました。
(6)の両辺を時間tで積分します。

v=-g(sinθ)^2・t+C1 (7)

vは鉛直方向の速度、C1は積分定数です。
さらに積分します。

z=-g(sinθ)^2・t^2/2+C1t+C2 (8)

ここで、初期条件を確認しておきます。
初速度がVsinθでした。初期位置(A地点)は0にしておきます。その方が簡単ですので。
すると、(7)において、t=0の時、

Vsinθ=C1 (9)

となります。
また、(8)において、t=0の時、

0＝C2 (10)

となります。
(9)および(10)を(8)に代入すると、

z=-g(sinθ)^2・t^2/2+Vsinθ・t (11)

になります。
…まあ、積分しなくても、加速度と初期条件がわかった時点で、高校の教科書を調べてもらえれば(11)は求まると思いますが…

いよいよ玉が地点Aに戻ってくるまでの時間Tを求めます。
(11)において、t=Tの時、z=0なので、

0=-g(sinθ)^2・T^2/2+Vsinθ・T (12)

T≠0やから、(12)の両辺をVsinθ・Tで割ります。

0=-gsinθ・T/2+V (13)

後は省略します。
(13)をTについて解くと、次のようになります。

T=2V/(gsinθ) (14)

No.1 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2010/12/04 19:02

転がすとありますけど、慣性モーメントは考えないことにして・・・

斜面の上の物体に働いている力は、摩擦がない場合は、重力と斜面からの垂直抗力。
垂直効力にも鉛直方向成分があるので、これも加味しないといけませんね。

水平方向と鉛直方向に分割するよりも、
すなおに斜面に沿う方向と斜面に垂直方向に分割したほうが楽と思います。
こうすると、斜面に沿う方向の運動には垂直抗力が表れません。