角運動量LｚとハミルトニアンＨの交換関係

Ｌｚ＝ｘｐｙ－ｙｐｘ
Ｈ＝－ｈ(エイチバー）/２ｍ　（∂＾２/∂ｘ＾２＋（∂＾２/∂ｙ＾２）　＋Ｖ（ｒ）
で、Ｌｚとハミルトニアン演算子Ｈは交換できるようなのですが、どのように計算すれば
[Ｌｚ，Ｈ]＝０となるのでしょうか？わかる方がいたら教えてください！！

No.3 ベストアンサー 回答者： yokkun831 回答日時： 2011/01/31 18:10

φを付け加えてみましょう。

LzV(r)/(-ih~)・φ = (x∂/∂y - y∂/∂x)V(r)φ
= x∂{V(r)φ}/∂y - y∂{V(r)φ}/∂x
= x {∂V(r)/∂y・φ + V(r)∂φ/∂y} - y {∂V(r)/∂x・φ + V(r)∂φ/∂x}
= [ x dV/dr・∂r/∂y + xV∂/∂y - y dV/dr・∂r/∂x - yV∂/∂x ]φ

となりますね？　演算子は後にあるもの一切にかかるということを意識してください。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！！φがつくんですね！！完全に理解することができました。本当にありがとうございます！！

お礼日時：2011/02/01 07:15

No.2 回答者： yokkun831 回答日時： 2011/01/30 23:06

Lz = xPy - yPx = -ih~(x∂/∂y - y∂/∂x)

H = -h~^2/(2m)・∆ + V(r)
ただし，
∆ = ∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2
r^2 = x^2 + y^2

Lz∆/(-ih~) = (x∂/∂y - y∂/∂x)(∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2)
= x∂^3/(∂x^2∂y) + x∂^3/(∂y^3) - y∂^3/∂x^3 - y∂^3/(∂x∂y^2)

∂/∂x(x∂/∂y) = ∂/∂y + x∂^2/(∂x∂y)
∂^2/∂x^2(x∂/∂y) = 2∂^2/(∂x∂y) + x∂^2/(∂x^2∂y)

∆Lz/(-ih~) = (∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2) (x∂/∂y - y∂/∂x)
= 2∂^2/(∂x∂y) + x∂^3/(∂x^2∂y) - y∂^3/∂x^3
　　 + x∂^3/∂y^3 - 2∂^2/(∂x∂y) - y∂^3/(∂x∂y^2)
= x∂^3/(∂x^2∂y) + x∂^3/(∂y^3) - y∂^3/∂x^3 - y∂^3/(∂x∂y^2)

∴[Lz，∆] = Lz∆ - ∆Lz = 0

LzV(r)/(-ih~) = (x∂/∂y - y∂/∂x)V(r)
= xdV/dr・∂r/∂y + xV∂/∂y - ydV/dr・∂r/∂x - yV∂/∂x
= xdV/dr・y/r + xV∂/∂y - ydV/dr・x/r - yV∂/∂x
= xV∂/∂y - yV∂/∂x

V(r)Lz/(-ih~) = V (x∂/∂y - y∂/∂x)
= xV∂/∂y - yV∂/∂x

∴[Lz，V(r)] = LzV(r) - V(r)Lz = 0

したがって，
[Lz，H] = -h~^2/(2m)[Lz，∆] + [Lz，V(r)] = 0

こんな具合でしょうか？いずれも演算子の対象であるφの存在を気にしながら計算してください。

この回答への補足

回答ありがとうございます！！途中まで計算してみたのですが、
＞LzV(r)/(-ih~) = (x∂/∂y - y∂/∂x)V(r)
= xdV/dr・∂r/∂y + xV∂/∂y - ydV/dr・∂r/∂x - yV∂/∂x
= xdV/dr・y/r + xV∂/∂y - ydV/dr・x/r - yV∂/∂x
= xV∂/∂y - yV∂/∂x
の部分の計算の二行目で+ xV∂/∂y と- yV∂/∂xが付け足されているのですが、これはどのようにして出て来た項なのでしょうか？
+ xV∂/∂y ＝- yV∂/∂xとできるからつけたすことができるのでしょうか？教えてください。

補足日時：2011/01/31 15:48

No.1 回答者： yokkun831 回答日時： 2011/01/30 18:58

[Lz，H]φ = (LzH - HLz)φ = LzHφ-HLzφ = 0

を実際に計算して確認せよということではないでしょうか？

ハミルトニアンに∂^2/∂z^2がないようですが，運動はxy平面に限られているという意味ですか？
その場合，V(r)においてr = (x，y)としてよいのかどうか…補足が必要と思われます。

この回答への補足

回答ありがとうございます！運動はxy平面に限られています。V(r)においてr = (x，y)としてよいのだと思います。実際にどの項とどの項が交換していい項なのかがわかりません。教えてください。

補足日時：2011/01/30 22:18