実数を成分とする2次の正方行列Aに対して、Aの固有値が1と2であるとき|A^2 - 3A|の値を求めよ。
という問題の答えがわかりません。

|A-2E|=0 等と使って解くのかと思い色々試してみたのですが上手くいきません・・ご回答よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

Aの固有値が1と2なので,Aの特性多項式は


(λ - 1)(λ - 2) = λ^2 - 3λ + 2.

このとき,ケイリー・ハミルトンの定理により
A^2 - 3A + 2E = O (Eは2×2単位行列,Oは2×2零行列)であるから,

A^2 - 3A = -2E
∴|A^2 - 3A| = |-2E| = (-2)^2 = 4.
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この回答へのお礼

なるほど。ご回答ありがとうございました。

お礼日時:2011/04/07 22:32

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Q行列のベキ乗(固有値が虚数の時)

先に、
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1137580
で質問させていただいた者です。

2x2の行列で、固有値が実数のときには、ジョルダン化を用いてベキ乗の計算ができるようになりました。

が、固有値が虚数のときにも同様の方法で解けるのでしょうか?
実部と虚部に分けて計算したり、虚数平面を用いたりすることで計算できるのでしょうか?

Aベストアンサー

先日も回答させていただいたadinatです。実はあの投稿のあとkeyguy様の投稿を読んで勘違いに気づいたのですが、投稿する前に締め切られていたので投稿できずじまいでした。僕のいった方法でももちろんn乗計算はできるのですが、ジョルダン標準形まで持っていくとn乗計算はわざわざ漸化式を解くようなことをしたなくても計算できそうです。もちろん一般にk×k行列でも計算できそうですね。

ところで2×2の行列について、固有値が虚数になる場合ももちろん標準形にすることはまったく同様の方法で可能です。また実係数の行列の場合、固有値は必ず二つとも実数になるかあるいは共役な虚数(a±bi)になります。すなわち虚数の固有値が出る場合は、必ず対角化されます(異なる固有値に属する固有ベクトルは直交するからです)。

というわけでもし実係数(当然整数係数の行列も含みます)の2×2行列ならば、
(1)対角化される(対角成分には二つの実数(同じ場合も含む)、あるいは互いに共役な複素数)
(2)対角化されないがジョルダン標準形にできる(ただしこの場合は対角成分はともに同じ実数になり、残る成分は1です)
の二つに必ず変形することができます。いずれの場合もn乗計算は大変容易であると思います。

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行列の問題です
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Q下記のn次行列の固有値と固有ベクトルの求め方を教えてください。

a1 a2 ・・・・・an
a1 a2 ・・・・・an
・・・・・・・・・
a1 a2 ・・・・・an
a1 a2 ・・・・・an

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固有多項式を求めることができません。
よろしくお願いします。

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b1,b2,・・・,bn
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(-1)^n倍をしないといけないかどうかははっきりしない
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あれ
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基準化したデータの分散共分散行列が相関係数行列ですので,
分散共分散行列が半正定値なら,相関係数行列が半正定値であることは自明です)

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(λ-1  -3)(x1) (0)
(-2  λ+1)(x2)=(0)のλに√7を代入すると、

(√7 -1    -3)(x1) (0)
(-2    √7 +1)(x2)=(0) になって、
固有ベクトルをどう求めるのかがわかりません。
√以外だと、左上を1にして求めていけばいいと思うのですが・・・

Aベストアンサー

#2です。
A#2の補足の回答
> α(1   )
>  ((√7-1)/3) 
> ということですね
そうです。

固有ベクトルは、αは何でもいいですから、適当に定めていいですね。
たとえば
α=1でも3などいずれでもいいですね。

同様にλ=-√7に対する固有ベクトルは
β(1   )
 (-(√7+1)/3)
ですね。
β=1でも-1でも3でもいずれでもいいですね


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