固有値から行列式の値を求める問題です。

実数を成分とする２次の正方行列Aに対して、Aの固有値が１と２であるとき|A^2 - 3A|の値を求めよ。
という問題の答えがわかりません。

|A-2E|=0　等と使って解くのかと思い色々試してみたのですが上手くいきません・・ご回答よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/04/07 22:14

Aの固有値が1と2なので，Aの特性多項式は

(λ - 1)(λ - 2) = λ^2 - 3λ + 2.

このとき，ケイリー・ハミルトンの定理により
A^2 - 3A + 2E = O (Eは2×2単位行列，Oは2×2零行列)であるから，

A^2 - 3A = -2E
∴|A^2 - 3A| = |-2E| = (-2)^2 = 4.

この回答へのお礼

なるほど。ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2011/04/07 22:32