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実数を成分とする2次の正方行列Aに対して、Aの固有値が1と2であるとき|A^2 - 3A|の値を求めよ。
という問題の答えがわかりません。

|A-2E|=0 等と使って解くのかと思い色々試してみたのですが上手くいきません・・ご回答よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

Aの固有値が1と2なので,Aの特性多項式は


(λ - 1)(λ - 2) = λ^2 - 3λ + 2.

このとき,ケイリー・ハミルトンの定理により
A^2 - 3A + 2E = O (Eは2×2単位行列,Oは2×2零行列)であるから,

A^2 - 3A = -2E
∴|A^2 - 3A| = |-2E| = (-2)^2 = 4.
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この回答へのお礼

なるほど。ご回答ありがとうございました。

お礼日時:2011/04/07 22:32

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Q行列における固有値、固有ベクトルについて

少しばかり固有値、固有値ベクトルについて、分からないことがあったため質問します。
 
 添付画像に式を示します。

 この式を解くとλ=1という固有値が出ます。しかし、λ=1を行列式に代入すると全てが0になり固有値ベクトルを求めることができません。
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Aベストアンサー

ANo.1です.少し補足を.

この問題を行列の対角化ととらえるとそれはすでに解決しています.単位行列は対角行列ですから.

また,固有ベクトルが何かという問題もすでに解決しています.任意の正則行列Pについて

P^{-1}EP=P^{-1}P=E

ですから,固有ベクトルは任意の一次独立ベクトルの最大セットで,任意の正則行列のすべての列ベクトルセットをとればよいです.

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ただ,基本ベクトルの考えは物理学(古典力学や量子力学など)のような応用分野では重要です.

Qe^(-x^2)の積分

e^(-x^2)の積分はどうやったらよいのでしょうか?
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

eは自然対数の底でe^(-x^2)=exp{-x^2}

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ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
だから、e^-(x^2)を積分する代わりにe^-(x^2+y^2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x^2+y^2)=r^2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e^-(r^2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e^-a^2)(π/2)=(π/4)(1-e^-a^2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e^-(2a^2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e^-a^2)}<∫[0→a]e^-(x^2)dx
<√{(π/4){1-e^-(2a^2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e^-(x^2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
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Qマイケルソン干渉計、干渉縞が円形になる理由

マイケルソン干渉計を用いて屈折率を求める実験をしました。レーザーの発射口に対物レンズをつけるとただの縞模様だった干渉縞が同心円状に広がる干渉縞になりました。対物レンズを使って集光するとこのように変化するのはなぜでしょうか?ぜひ教えてください。お願いします。

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ご質問の時に注意書きなど見ていらっしゃらないことと思いますが...

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【ヒント】

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Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
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回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Q下記のn次行列の固有値と固有ベクトルの求め方を教えてください。

a1 a2 ・・・・・an
a1 a2 ・・・・・an
・・・・・・・・・
a1 a2 ・・・・・an
a1 a2 ・・・・・an

上記は行列です。
|A-λE|=0を用いるのでしょうか?
固有多項式を求めることができません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

・行の入れ替え
・他の行の定数倍をその行にたす

を繰り返して
対角成分より下の部分を0にできれば
そのときの対角成分を
b1,b2,・・・,bn
とすれば
(b1-λ)・(b2-λ)・(b3-λ)・・・(bn-λ)
または
その(-1)^n倍が固有多項式だ
(-1)^n倍をしないといけないかどうかははっきりしない
分かったらさっさと閉めきれ

あれ
各行同じだな
もしそうなら1行から他の行を全部引いたらいい
(a1-λ)・λ^(n-1)
または
-(a1-λ)・λ^(n-1)
が固有多項式だ

Q大学院受験失敗していしまい、進路について悩んでいます

はじめて質問させて頂きます。
大学院試験に失敗し、フリーターが決定してしまい、悩んでいます。
自身の情報は以下です。
 ●23歳/首都圏在住
 ●一浪/某技術系国立大学進学
 ●大学院試験失敗(内部)
 ●試験日程が遅く、合格発表時には研究生は修士卒業生に内定済。
 ●上記同様、就職活動には間に合わず。
 ●将来的には就職したい。
 
まず、学部の人数が少ないため、個人が特定されてしまうのであまり詳細は書けません。申し訳ありません。
出来る限りの範囲で経験や、実例からご意見を聞かせて頂きたいです。

○院試験失敗について
内部受験であること、例年の進学状況、卒論の評価的にも大学院進学はほぼ確実でした。
しかし、例年と違い、希望研究室で留年・休学をする修士・博士が多く直前で定員を減らされてしまったことと、受験者数の増加、内部外部共にレベルの高い受験生が多かったこと(これは教授がおっしゃっていました)が重なり、昨年度の半分しか内部合格者が出ませんでした。
勿論、自分の実力不足もありますが、卒論については他の研究室の教授からも好評を頂いていた上に、半年以上かけての研究が認められなかったのは涙が出ない程に悔しいです。いまだに実感がありません。
何より、研究室内の希望専攻に内部生が一人も合格していなかったことが疑問です。噂によると、お上から外部を例年より多く採るようにとのお達しがあったとか…。ただ、落ちた事は事実なので、しっかり受け止めます。

○これから
そんな事もあり、新卒での就職、研究生としての大学残留への道はありません。
もともと大学院進学後は企業への就職を考えていたので、履歴書に空白を作りたくはありません。が、しかし、そうは言っていられないので(笑
『履歴書に空白があっても採用で問題視されない過ごし方』を模索中です。
幸い、希望は技術職なので中途採用枠を設けてる企業も多く、今までのアルバイトでの実務経験(アルバイトでは一番上のサブチーフを任されていました)もあります。
ただ、まだまだ即戦力になる技術が足りないと考え、専門学校への進学や留学も考えています。

○そこで、どのルートが一番就職で有利かのご意見をお聞かせください。
ポイントとしては、より良い条件(特に給与面)での就職です。大手、中小に拘りはありません。
※院浪人は基本的には考えていません。再受験するとしても違う研究室。
※学費等すべて親に頼るつもりはありません。
※留学は語学と研究両方。私費で、大学の聴講生を検討。

【1】フリーター → 就活(中途)
【2】フリーター → 専門学校 → 就活 
【3】フリーター → 働きながら専門学校夜間 → 就活
【4】フリーター → 留学 → 就活(中途)
【5】フリーター → 大学院 → 就活

アドバイス、宜しくお願いします。
他に、もっと良い例があったら是非とも、お聞かせください。
特に過去に院試験失敗し就職された方がいらっしゃいましたら、宜しくお願いします。

はじめて質問させて頂きます。
大学院試験に失敗し、フリーターが決定してしまい、悩んでいます。
自身の情報は以下です。
 ●23歳/首都圏在住
 ●一浪/某技術系国立大学進学
 ●大学院試験失敗(内部)
 ●試験日程が遅く、合格発表時には研究生は修士卒業生に内定済。
 ●上記同様、就職活動には間に合わず。
 ●将来的には就職したい。
 
まず、学部の人数が少ないため、個人が特定されてしまうのであまり詳細は書けません。申し訳ありません。
出来る限りの範囲で経験や、実例からご意見を聞...続きを読む

Aベストアンサー

ちゃんとしたアドバイスにならないかもしれませんが、参考までに。
私は院ではありませんが、公認会計士を目指しています。
一般企業の内定は辞退して卒業しました。
が、昨年の卒業後に受けた試験で失敗。
試験専念から完全に無職になってしまいました。
そしてその時に試験は諦めて就職しようと考え、色々な会社を回りましたが、大手はまず門前払い。中小(50人規模程度)もまずムリ。
結局中小どころか零細企業しかありませんでした。

そのため私は現在塾講師のバイトをしながらもう一度試験の専念に向けています。
この経験から言えることは就職はまず「新卒」でないと相手にされないという事です。
どんなに資格を持っていても、どんなに優秀な人材であっても新卒でないと企業は自分を見てくれません。
フリーターから中途という道はまずありません。
フリーター→零細企業→中小企業
という道ならありえますが、院を目指すような方が満足出来るような職場では無いと思います。

既卒の就職はかなり厳しいです。
就活をした事が無いと、なかなか「厳しい」の度合いが分からないかもしれませんが、就職における「厳しい」という言葉は「不可能」「無理」と同じ意味だと思って下さい。

フリーターは決定しているとお考えのようですが、今からでも募集している企業に甘んじて就職する(それでも既卒になってしまうよりは何倍もマシ)という選択も考慮に入れた方がいいと思います。
そうでなかったら来年の院試に向けて勉強する。
か、全く別の道を目指すなどをした方がいいかと思います。

ちゃんとしたアドバイスにならないかもしれませんが、参考までに。
私は院ではありませんが、公認会計士を目指しています。
一般企業の内定は辞退して卒業しました。
が、昨年の卒業後に受けた試験で失敗。
試験専念から完全に無職になってしまいました。
そしてその時に試験は諦めて就職しようと考え、色々な会社を回りましたが、大手はまず門前払い。中小(50人規模程度)もまずムリ。
結局中小どころか零細企業しかありませんでした。

そのため私は現在塾講師のバイトをしながらもう一度試験の専念...続きを読む

Qマイケルソン干渉計について(高校物理)

マイケルソン干渉計の片方の鏡を遠ざけると
干渉縞が感覚を保ったまま平行移動し、
片方の鏡を傾けると隣り合う暗線の感覚が短くなると参考書に書いてありました。

しかし、これだけで説明がなかったのですが
どういう原理でこれが起こるのでしょうか?

前者は経路差が全体として長くなるはずですがそのあとがわかりません。
後者についてはさっぱりです。

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

結構時間が経ってしまったので解決しているかも知れませんが書いてみました。

高校の物理でどの程度教えられているのか判らないので、こんなの知っているよと言われるかも知れませんが、できる限り噛み砕いて書いてみます。

光の干渉は、光の持つ波の性質により生じます。
水面に石を落とすと発生する波紋をイメージすると良いです。
ある一方向について見ると、波は進行方向にうねうねと上下動を繰り返しながらSin波[正弦波]( cos波[余弦波]でも同じ)で進みます。
波の進行上のある一点に注目すると波はどんどん動いているので時間によって波の高さが変わることが判るでしょう。

干渉とは、この観測点における2つ以上の波の合成のことで、干渉縞はある観測面において、光の濃淡が光の干渉により縞のように生じる現象を指します。

では、観測点において2つの波が重なる場合どういう状態なるかというと、

1.2つの波のそれぞれの山の高さが逆方向に同じ大きさの場合、打ち消し合って光を生じない(黒くなる)。
2.1以外の状態の場合、2つの波のそれぞれの山の高さの合成に応じた光量で明滅を繰り返す。
  光量は波の振幅の2乗に比例します
  実は、黒い部分は必ず黒ですが、明るい部分はもの凄い速さで明滅を繰り返しています。
  これは、結構教えて貰えないですが重要なことです。

さて、これを踏まえて問題について考えてみます。

マイケルソン干渉計にて干渉縞を生じている状態というのは、

1.1つの平面波をハーフミラー(以降HM)などで2つに分ける。
2,2つに分けた光をそれぞれ平面鏡により光を折り返す。
  便宜上、片方の平面鏡を参照鏡(以降RM)、もう片方を被検鏡(以降SM)とする。
3.1のHMにより2つの光をそれぞれ2つに分ける。
4.HMにより光の発生源とは異なる方向に進んだ2つの光の進行上に観測面を設定する。
5.観測面において2つの光が合成される。
6.2つの波は同じ光であるので、傾きを生じていなければ、全面明るいか黒いかのいずれかの状態にある。
7.SMを僅かに傾ける。
8.観測面では、RMからの光(以降Ref光)に対し、SMからの光(以降Spl光)が傾いた状態で合成される。
9.観測面において、2つの光の波の山の位置が1/2周期(=1/2波長)ずれている時、光は打ち消し合い黒くなる。
  2つの光は全く同じものなので、光の進む速度、周期、振幅は同じなため、1/2周期ずれている場所は、
  時間が経過しても常に同じ位置に存在する。
  それ以外の合成箇所では明るい明滅を繰り返している。
10.観測面において、白黒の干渉縞が観測される。


次の様な図を書いてみてください。

1.1本の水平線を引きます。
2.1の線に対し少し傾けた線を任意の間隔で数本、平行に実線と破線を交互に引きます。

・水平線は観測面におけるRef光です。
・傾けた線は、Spl光で平行線の実線同士(破線同士)の間隔は1周期を意味します。
・水平線と傾けた実線の波は同じ方向の同じ山の高さとします。
・水平線と傾けた実線の交点では光は強め合います。
・水平線と傾けた破線の交点では光は打ち消し合います。
・水平線と傾けた破線の交点上に黒い線が出来ます。

A.SMを光の進行方向に平行移動する。

1.SMを光の進行方向に平行移動させる。
2.Spl光の進む距離が変化する。
3.Spl光が観測面に到達する時間が進んだり遅れたりする。
4.観測面を通過するSpl光の波の位置が変わるので波の高さが変わる。

あ.先程書いた図において、傾けた線の実線と破線を入れ替えてみます。
い.水平線と傾いた破線の交点の位置を先程の図と比較すれば交点の間隔は同じで動いていくことが判ります。


B.SMの傾きを変える。

1.観測面において、Spl光の入射角が変わる。

あ.先程書いた図において、傾けた線を平行の間隔は同じにして角度を変えてみます。
い.水平線と傾けた破線の交点の間隔をみます。
う.傾きが大きいと交点の間隔が狭くなり、傾きが緩くなると間隔が広がります。

以上

結構時間が経ってしまったので解決しているかも知れませんが書いてみました。

高校の物理でどの程度教えられているのか判らないので、こんなの知っているよと言われるかも知れませんが、できる限り噛み砕いて書いてみます。

光の干渉は、光の持つ波の性質により生じます。
水面に石を落とすと発生する波紋をイメージすると良いです。
ある一方向について見ると、波は進行方向にうねうねと上下動を繰り返しながらSin波[正弦波]( cos波[余弦波]でも同じ)で進みます。
波の進行上のある一点に注目すると波は...続きを読む

Q平面の交線の方程式

2平面の交線の方程式はどうやって求めるのですか?

例で適当に問題を作ってみたんで教えてください
x-y+3z-1=0,x+2y-z-3=0

どなたか教えていただけませんか?

Aベストアンサー

akatukinoshoujoさん、こんにちは。

>x-y+3z-1=0・・・・(1)
>x+2y-z-3=0・・・・(2)とおきましょう。
(1)(2)より、連立方程式を解いて、x、y、zをそれぞれどれか一つの文字で表していきます。

(1)×2 2x-2y+6z-2=0
(2)   x+2y-z-3=0
------------------------------これを足してみると
      3x+5z-5=0
      x=-5(z-1)/3・・・・(☆)

(1)   x-y+3z-1=0
(2)×3 3x+6y-3z-9=0
------------------------------これらを足し合わせると
      4x+5y-10=0
      4x=-5(y-2)
      x=-5(y-2)/4・・・・(★)

(☆)(★)より、yとzをxであらわせたので、つなげてみましょう。

x=-5(y-2)/4=-5(z-1)
もうちょっと整理すると、
x/5 =(y-2)/-4 =(z-1)/-3
となって、これは(0,2,1)を通り、方向ベクトルが(5,-4,-3)の
直線になることを示しています。


方程式が2つあるので、どれか一つの文字で表して、つなげてみるといいですね。
頑張ってください!!

akatukinoshoujoさん、こんにちは。

>x-y+3z-1=0・・・・(1)
>x+2y-z-3=0・・・・(2)とおきましょう。
(1)(2)より、連立方程式を解いて、x、y、zをそれぞれどれか一つの文字で表していきます。

(1)×2 2x-2y+6z-2=0
(2)   x+2y-z-3=0
------------------------------これを足してみると
      3x+5z-5=0
      x=-5(z-1)/3・・・・(☆)

(1)   x-y+3z-1=0
(2)×3 3x+6y-3z-9=0
------------------------------これらを足し合わせると
   ...続きを読む

Q長さの単位であるAの上に丸がついた記号は何mですか。

こんばんは。Aの上に丸がついた単位をよく見ますが、これは「オームストローム」のことでしょうか。違うのであればこの単位をメートルに直したときどのような値をとるのか教えてください。

Aベストアンサー

この答えでいいのでしょうか。

☆Å(オングストローム/angstrom) 
長さの補助単位。
10の-10乗=百億分の1メートル。電磁波の波長測定や、原子物理学・結晶学・分子学などで用いる。
記号 Å または A で表す。
スウェーデンの物理学者オングストレームの名にちなむ。

参考URL:http://www.sun-inet.or.jp/~nao2/jiten/sonota.htm

Q1/(1-x)や1/(1+x)の積分形

あまりに簡単な問題ですいません。
1/(1-x)の積分形
1/(1+x)の積分形
を教えてください。

それと1/xの積分形はLog(x)と本に載っていますが
Ln(x)でも良いのでしょうか?

30歳を過ぎて頭がぼけてしまいました。
なにとぞ宜しく御願いします。

Aベストアンサー

∫1/(1-x)dx=-log(1-x)+C
∫1/(1+x)dx=log(1-x)+C

1/xを積分したときのlog(x)(正しくはlog|x|)は
常用対数(底が10)ではなく自然対数(底がe=2.71828183...)
なのでLn(x)と同じ意味です


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