微分積分って何に使うのですか？

Question

文型なので、数学を高校だけで終了して１５年余り、最近あるきっかけで簡単な微積分の勉強をすることになりました。よくわからなくてすみません、微分は放物線のある範囲の傾きを調べるために使うのでしたっけ？それでは積分は何のためするのですか？物理で必要なのはどんなときなのですか？きっと高校の時も受験のために必要としか感じていなかったので微積分がよくわからなかったのでしょうね。素人にわかるようによろしくお願いします。

bear-3 · Accepted Answer

こんにちは。

いちおう仕事で微分／積分に関わっているもので
それについてコメントさせて頂きます。

微分については、微小長さあたりの微小変動を捉えることができる手法ですね。実際として利用するのは、やはり移動距離から速度、そして加速度を求めるときなどに利用しています。
あと、振動波形などの線図データの特徴を捉える為に、微分して、”一定変動で無い部分はどこか”　を探すのに利用したりもしています。微分すると一定変動で無い部分が顕著に現れますからね。あと微分値（傾き）が0になる所を見つけることによって波形データの頂点（折り返し点）を容易に見つけるということもやってます。

本題で積分についてです。方程式を区間積分すると、線図の面積を算出できますね。単純に、複雑な図形の面積を算出する際にも利用するのですが、他の使い方の方をワタシはメインに利用しています。
面積という捉え方は、「ある軸方向に捕われない純粋な量」として考えることができますので、長さ、速度　ではなく、エネルギ（仕事量）を積分によって求めることができます。
エネルギ（仕事量）という捉え方は、非常に有益で、いろんな数値（長さ、移動距離、速度）をミックスし、一つの値にまとめることが可能になります。
ようするに、”あの人はどのくらいガンバッテいるのか”　という曖昧で一つの値では表現しにくいものについて、総合点というカタチで数値を求めることができる。しかもその総合点は他人との比較にも使える　ということです。

身近なところでいうと、正方形の面積を求める手順で、縦方向と横方向の長さをかけて面積を算出していますが、あれは「横方向の長さ、縦方向の長さから、この正方形の総合点を算出している」とも捉えることができます。面積を求めるというのは積分することと同じことです。

実際には、材料力学などで「この板はどれくらいのダメージをうけているか」の”値”を求める際に利用されたりしています。ワタシは仕事の方で、こちらの方を実際に利用しています。

ご参考になりますでしょうか？

bear-3 · Answer

＃４です。
ちょっと最後に一言。

いろんな数値を総合したいのであれば、単純に足せばいいじゃん。とか思ってしまうかもしれませんが、長さ,速度,力などのように単位の異なるものを単純に足すと、数学的に「意味の無い行為」であるのです。単位の異なるものを総合できるのが、積分です。
まぁこの辺り、言いはじめると濃い話になってきてしまうのですが。。。。
それぞれの何かの”点数”を足しあわせるのであれば、全て”点数”という単位ですので、単純に足しあわせても「意味のある行為」なのですけどね。

実際の話のもうひとつ例なんですけど、「この棒の曲がりにくさ」とかを表現するのにも利用されていたりします。

i536 · Answer

微積分に関しては各自にいろいろな考えがあると思います。
以下わたしのイメージです。

全体をぱっと見ただけでは見抜くことができない特徴でも、
そのものを細かい部分に分けて考えると
見えなかった特徴がくっきりと浮かび上がってくる場合が多いです。
そこでこの考え（分析）を徹底して究極まで行うと、
ものを無限に細かく分けて考えることになります。
無限に細かく分けてものの性質(比)を捕らえる数学の方法が微分だとおもいます。

一方、無限に細かく分割したものから捕らえられた性質・特徴を、
こんどは逆に全体にわたって無限に集計したい場合もあります（総合）。
この無限に分けた部分の特徴を全体にわたって無限に
合計する数学の方法が積分です。

無限に細かく比を分析するのが微分、
無限に細かい特徴を無限にわたって総合するのが積分だ
と思います。

したがって、微分積分は計算方法ですから、
その活用対象は傾き・面積・線分の長さといった特定のもの
限定されません。

gukky · Answer

簡単のため１次元の曲線で考えます。
微分というのは、その曲線の変化量（傾き）を求めるときに使います。
積分の場合、通常は積分する区間というのを指定します。これを定積分と言います。この場合はその曲線の２つの区間の間の面積を求めることになります。
日常生活の中でも知らないうちに使われることがあります。
例えば積分ですが、車で道を走ってい、ある時間でどれくらいの距離を走ったかというのを考えるとき、時間と車の速度の関係が曲線となり、それをある時間の間で積分すると距離になります。
逆に速度を微分すると加速度となります。加速度とは、車に乗っていて体が前後左右に振られるときに感じるものです。加速度がないと速度があっても動いていることを感じません。（目をつぶっていると動いているかどうかがわからないでしょう。）
学術的に厳密に言うとちょっとあいまいな点もあるのですが、感じとしてはこんなところです。

freegeo · Answer

こんにちは。
積分はある線で囲まれた範囲の面積を求めるときに使います。タテが速度、横が時間のグラフがあるとして、ある時間に移動した距離が面積(積分)でわかってしまう。という感じです。

微分積分って何に使うのですか？

こんにちは。

＃４です。

微積分に関しては各自にいろいろな考えがあると思います。

簡単のため１次元の曲線で考えます。

こんにちは。

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