確率の問題

↓この問題が
解けなくて
苦戦してます。
分かる方いませんか？

次の条件を満たす４桁の正の整数
d4d3d2d1の個数を
それぞれの場合に
ついて求めよ。
(1)9≧d4＞d3＞d2＞d1≧0

(2)9≧d4≧d3≧d2≧d1≧0

答えは(1)が210個
(2)が714個なのですが
解き方が分かりません。
分かる方教えて下さい。

No.3 回答者： sanori 回答日時： 2011/06/17 22:42

こんにちは。

（１）
数字を大きい順に並べて、それぞれの左横に、Ａ～Ｊ　の記号をつけます。
Ａ　９　Ｂ　８　Ｃ　７　Ｄ　６　Ｅ　５　Ｆ　４　Ｇ　３　Ｈ　２　Ｉ　１　Ｊ　０
ここで、Ａ～Ｊの中から４つを選ぶ組を考えることにします。
そして、それら４つの右横にある数字を必ず左の順番から並べると、問題の条件に合う４桁の数になります。
つまり、Ａ～Ｊの１０個の記号の中から４つを選ぶ組み合わせの数を計算すると、
問題の条件に合う４桁の数の種類の数になります。
10Ｃ4　＝　（１０×９×８×７）÷（４×３×２×１）　＝　２１０

本当は、Ａ～Ｊ　などという記号を使わなくても、はなから　９～０　で考えればよいのですが、
私なんかは、無駄に　Ａ～Ｊ　を使うほうがイメージが湧きやすいです。

はなから　９～０　で考えるというのは、
「１０個の中から４つを選ぶ組み合わせの数を求めさえすれば、選んだ４つを大きい順に並べる作業なんて、後回しでいい」
という考えです。


（２）
今度は、Ａ～Ｊの中から４つを選ぶ際に、同じものを２回以上選んでよいものとします。
すると、
あ）４回１つ
い）３回１つと１回１つ　および　３回１つと１回３つ
う）２回１つと２回１つ
え）２回１つと１回１つと１回１つ　および　１回１つと２回１つと１回１つ　および　１回１つと１回１つと２回１つ
お）１つと１つと１つと１つ
の５通りに場合分けできます。

（あ）は、10Ｃ1　＝　１０÷１　＝　１０
（い）は、10Ｃ2・2Ｃ1　＝　（１０×９）÷（２×１）×２÷１　＝　９０
（う）は、10Ｃ2　＝　４５
（え）は、10Ｃ3・3Ｃ1　＝　（１０×９×８）÷（３×２×１）×３÷１　＝　３６０
（う）は、10Ｃ4　＝　（１０×９×８×７）÷（４×３×２×１）　＝　２１０

１０＋９０＋４５＋３６０＋２１０　＝　７１５

これで一見よさそうで、私もうっかり「７１５通り」と答えてしまいそうなのですが、
よく考えると、（あ）の「４回１つ」の「１つ」が　Ｊ　の場合だけ、００００　になって４桁の数とは言えなくなりますから、その分、１通り減らさないといけないですね。

もっと簡単な解き方があると思いますが、私の力量ですと、こんなもんです。

この回答へのお礼

確かにＡ～Ｊと
考えたほうが
イメージが
つきやすいです!!
すごくために
なりました!!
ありがとうございました!!

お礼日時：2011/06/18 16:00

No.2 回答者： sayumi0570 回答日時： 2011/06/17 22:22

１、

０から９までの１０個から　　４つを選ぶ

条件を満たすのは選んだもの１つに対して１通りだから
（つまりおおきな順に並べた時）
１０C4=210

２、
これは箱と玉で考えました
０－９の番号のある箱に４つの玉を入れる
異なる箱に　　同じ玉を入れる

５のはこに２つ　　４のはこに２つ入れると
５５４４にたいおうする
１つの場合に対して１つ対応するので

１０種類の異なる箱に　４つの同じ玉を入れる場合の数と同じ
１０H4=13C4=７１５　　　で　００００を除くので　　　７１４通り、

この回答へのお礼

分かりやすい
説明ありがとうございます!!
もう１度解いて
みようと思います!!
ありがとうございました!!

お礼日時：2011/06/18 15:58

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/06/17 21:18

こんばんわ。

ちょっと手の着けようがなさそうに見えますね。
特に、(2)は少し「ワザ」がいります。

(1) 0～9の 9個の数から適当に 4つを選んでみてください。
その 4つの数からできる 4ケタの数で、題意を満たすものは何とおりありますか？
その対応がわかれば、「組合せ」の数として求められます。

(2) (1)と比べると「重複」が許されています。
このままでは考えにくいので、「ワザ」の登場です。
「ワザ」とは、「重ならないようにずらしてしまう」ということです。

一度、2ケタの数で考えてみます。
十の位：a、一の位：bとしたとき、0≦ a≦ b≦ 9を満たす数の個数は？
aと bが重ならないように bを 1ずらして「b+1」を考えてみると、a＜ b+1となります。
その代わり、もとの不等式は 0≦ a＜ b+1≦ 10となります。
ここまでくれば、(1)と同様に考えることができます。

これを 4ケタの場合で考えます。

そして、最後に -1しなければなりません。
「当てはまらない場合」が 1つだけあるからです。それは・・・


また一度、考えてみてください。

この回答へのお礼

すごく助かりました。
ありがとうございます!!
もう１度チャレンジ
してみます!!

お礼日時：2011/06/18 15:56