住宅ローンの総返済額の計算式について

Question

よろしくお願いします。
最近住宅の購入を考え始めたので、住宅ローンに関するをいくつか読んでおります。その中で、よく分からない事があります。

例えば、
借入金：２０００万円
返済期間：３５年／元利均等返済
金利：２.５％
総返済額：○○○○万円
といった書かれ方をよく見かけますが、、この「総返済額」の計算方法が分かりません。

最初は、「元本：２０００万円／返済期間：３５年／金利：２.５％」なんだから、計算式は、
『 ２０００万円×（１＋２.５／１００）[３５乗] 』でいいのだろうと思い、それで計算してみると、『＝４７４６万円』となるのですが、この数字では書籍と合いません。
おそらく、「元利均等返済」の関係でこの計算式にはならないのでしょう。そこまでは分かりました。

そこで、「総返済額の計算方法を分かりやすく解説しているサイト」もしくは、「総返済額の計算などを分かりやすく解説している書籍」をご存知であれば教えてください。

また、本などで読むまでもなく、簡単に説明ができる方がいればぜひ教えてください。よろしくお願いいたします。

xexstyle · Accepted Answer

元利均等返済の毎回の返済額は次の式で表されます。

P = L × r × (1+r)^n ÷ ((1+r)^n - 1)

P：毎回の返済額
 L：借入額
 r：月利（年利の12分の1）
 n：返済回数

ご提示のケースの場合、次のようになります。

P = 20,000,000 × 2.5%/12 × (1+2.5%/12)^(12×35) ÷ ((1+2.5%/12)^(12×35) - 1 )
 P =  71,499.0431
    http://goo.gl/lK0XM

この計算式の導出の仕方はいくつかあります。
rinkunさんやalice_44さんのやり方、またfunoeさんのやり方も正しく、そのやり方を突き詰めていくと上の式にたどり着きます。
式の計算自体は普通の電卓でもできますが、結構、面倒なので、上のとおりgoogleの電卓機能を使うか、ExcelのPMT関数を使うのが簡単だと思います。
PMT関数内部では上の式（実際はもっと複雑）を計算しており、それを使うときは、次のように指定してください。

=PMT(2.5%/12, 12*35, -20000000)

毎月の返済額を71,500円とすると、返済総額は、71,500円×12ヶ月×35年 = 30,030,000円で、うち利息は、30,030,000-20,000,000=10,030,000円です。

xexstyle · Answer

ANo.7です。

確かにANo.6さんの月利の方が数学的には正しいです。
ただ昔から月利は年利を12で割った値を使い、現行のほとんどの金融機関もこの方式です。
(1+0.025)^(1/12)をテイラー展開すると、1+0.025/12+(1-1/12)*(1/12)*0.025^2/(1/2)!+…となり、第三項以降が非常に小さくなるので、1+0.025/12で近似できます。
昔の人は、12乗根を求めるのが面倒であったから、このような近似値で代用したのでしょう。
こちらのサイトでそのあたりが論じられています。
http://homepage2.nifty.com/Rainbow2/loan/ronten.htm
またこのサイトでは、ちょっと難しいですが、先にあげた元利金等返済の返済額を求める式の導出もしています。

元利金等返済の返済額は、このような考え方でも導出できます。
仮に借入額100万円を月利r、月１回の4ヶ月で返済するとし、その返済額を求めるとします。
4回の返済それぞれには、元金100万円の一部が多少なりとも含まれます。
一回目の返済に含まれる元金はa、二回目の返済に含まれる元金はb、同じく三回目はc、四回目はdとします。
a+b+c+d=100万円です。
毎回の返済額pを考えると、一回目の返済pには元金aとそれに対する利息、二回目の返済pには元金bとそれに対する利息、三回目の返済pには元金cとそれに対する利息、４回目の返済pには元金dとそれに対する利息が含まれるはずです。
一回目の返済では、元金aに1ヶ月分の利息が課せられ、元利合計でa(1+r)となり、これがpに等しくなります。
これより、a=p/(1+r)です。
二回目の返済では、元金bに2ヶ月分の利息が課せられ、元利合計でb(1+r)^2となり、これがpに等しくなります。
これより、b=p/(1+r)^2です。
三回目の返済では、元金cに3ヶ月分の利息が課せられ、元利合計でc(1+r)^3となり、これがpに等しくなります。
これより、c=p/(1+r)^3です。
四回目の返済では、元金dに4ヶ月分の利息が課せられ、元利でd(1+r)^4となり、これがpに等しくなります。
これより、d=p/(1+r)^4です。

100万円=a+b+c+dですから、
100万円=p/(1+r)+p/(1+r)^2+p/(1+r)^3+p/(1+r)^4です。
この式の両辺に(1+r)をかけると、
100万円×(1+r)=p+p/(1+r)+p/(1+r)^2+p/(1+r)^3
下の式から、上の式を引くと、
100万円×(1+r) - 100万円 = p - p/(1+r)^4
100万円×r = p×(1-1/(1+r)^4)
p = 100万円×r÷(1-1/(1+r)^4)
p = 100万円×r×(1+r)^4 ÷ ((1+r)^4-1)
となり、これを一般化すると、
 P = L × r × (1+r)^n ÷ ((1+r)^n - 1)
と先にあげた返済額を求める式になります。

alice_44 · Answer

A No.7 と No.6 は、月利の値が全く違うよ。
向こうが正しいのかも知れないが…

alice_44 · Answer

要するに、返済した分だけ借金が減って、その先の利息が減る
ということです。年 2.5 %複利の月々払いだと、1ヶ月の利率 r は
(1+r)の12乗=1.025 の解。これに対し、毎月 Y 円返済すると、
借金の残高は X'=(1+r)X-Y と変化します。
X' が 12×35 回目に 0 (または、わずかに負)になればよい訳です。
数列を解くと、n 回支払い後の残高 X[n] 円が
X[n]=(Y/r)+((X[0]-(Y/r))のn乗) になりますから、
0=(Y/r)+((20000000-(Y/r))の420乗)) ただし r=(1.025の12乗根)-1
を Y の方程式として解けば、総返済額は 420Y です。
20000000-(Y/r)=z と置いて (zの420乗)-z+20000000=0 を解くのですが、
この方程式は、代数的には解けません。近似解を使うことになります。
ニュートン法かなあ。

HeNeArKrXeRn · Answer

私は、ローンの基本的な仕組みを勉強し、それを元にエクセルの計算表を作り、
不動産屋さんに貰ったいくつかの見積と結果が合うことを確認して、その表を使って検討しています。

例えば、金利が2.4%のローンで2,000万円借りることを想定します。
35年ローンで元利均等だと、結論から言うと月々の返済額は70,432円です。

年利2.4%なので、月々では2.4/12=0.2%の利息がかかります。

最初の返済時。
借りた20,000,000円に、その0.2%で当たる40,000円が加わり、残高は20,040,000円となります。
70,432円を返済するので、その月の支払い後の残額は、19,969,568円となります。

翌月。
先月の残額19,969,568円に、その0.2%に当たる39,939円が加わり、残高は20,009,507円となっています。
やはり70,432円を返済するので、支払い後の残高は、19,939,075円となります。

その翌月。
先月の残額19,939,075円に、その0.2%に当たる39,878円が加わり、残高は19,978,953円となっています。
やはり70,432円を返済するので、支払い後の残高は、19,908,521円となります。

これを延々と35年×12ヶ月＝420回繰り返す計算式を、エクセルで作ってやります。
借入れ額と年利、毎月の支払額を入力すれば、そのセルを参照して420回の自動計算をしてくれます。

35年ローンの場合、毎月の支払額をいじって、420ヶ月目で残額がゼロになるところを探します。
70,500円では420ヶ月目の残高がマイナス、すなわち払い過ぎになってしまい、
70,400円では420ヶ月目の支払い後に2万ちょっと残ってしまうので、毎月もう少し払わなければならない、
といった感じで、最終的に70,432円を割り出すことができます。
(マイナスの値を赤い字で表示するようにすると、見やすい)

総支払額は、70,432円の支払いを420回行うのだから、70,432×420＝29,581,440円となります。

年利2.5%にすると、毎月が2.5/12=0.208333・・・と半端な値になるので、説明を簡単にするため12で割り切れる2.4%にしましたが、
ご質問の例にある借入れ2,000万円、年利2.5%、35年では、月返済額が71,500円になりますので、
総返済額は71,500×420＝30,030,000円となることが、このエクセル計算表で簡単に割り出せます。

インターネット上にゴロゴロ転がっているローンシミュレーションは、途中の計算を全部すっ飛ばして
結果だけを表示するので、何千万もの支払い計画を委ねるには不安というか、不満が残りますよね。
自分で作った計算式表なら、何件かの例(見積等)と整合性が確認できれば、バッチリ納得できるかと思います。

funoe · Answer

>２０００万円×（１＋２.５／１００）[３５乗]でいいのだろうと思・・・
　ということから、理系の考え方のできる方とお見受けしました。

基本的には、

2.5%で2000万円を35年間借りっぱなしにした金額　2000万円×(1.025)^35≒4746万円

と、毎年一定額（Ａ円）を年利2.5%の複利運用で定期積み立て預金したときの35年後の総額

Ａ×(1.025^35－１)/(1.025-1)≒Ａ×54.9　が一致するようにＡを求めて、

Ａ(円)×35回　が支払い総額。

支払い総額＝4746万円／54.9　×35＝3025万円　位かな。

実際は、年ごとでなく月ごとの返済だろうし、円未満端数とかの処置もあるから誤差があるとおもいます。

rinkun · Answer

実際の計算ができるサイトは他の回答を見てもらうとして、簡単な考え方だけ書きます。

今、年利2.5%で2000万円借りて、一ヵ月後に10万円返すと、そのときの借り入れ残高は
20000000×(1+0.025/12)-100000=19941666[円]
です。
借りてからnヶ月目の残金をX(n)円、金利をa%、月の返済額をY円として式を立てると
X(n-1)×(1+a/1200)-Y=X(n)
この漸化式を解いてX(n)をa,Y,X(0)の式として書き、Nヶ月で完済の場合、X(N)=0として
さらに式をYについて解くとYがaとX(0)で書けます。
# 実際は円未満の端数の処理もあるのでもっと面倒ですけど

ykykykt · Answer

度々スミマセン。
読み返して質問の意図から外れている気がしたので、以下の携帯サイトアドレスをどうぞ。

http://homepage2.nifty.com/Rainbow2/loan/cgi_hensai.htm

まずは試算を出して、元金返済額、金利返済額、残額を目で見た方がイメージしやすいと思います。

ykykykt · Answer

「住宅ローン シミュレーション」で検索すれば、例えば銀行などのHPでも、試算できるサイトはゴマンとありますよ。
おすすめは住宅金融支援機構さんのHP

繰り上げ返済や、金利変更、複数のローンを使う…など色んな返済方法に対応しており、毎月の返済額と残額が表示されます。
借り入れ可能額なんかもわかります。
審査に通るかどうかは別ですが(^_^;)

ちなみに同期間・金利で総返済額が少ないのは、元金均等返済です。
けど、色々保証がつけれるのは元利均等返済。

悩みますよね…

住宅ローンの総返済額の計算式について

元利均等返済の毎回の返済額は次の式で表されます。

ANo.7です。

A No.7 と No.6 は、月利の値が全く違うよ。

要するに、返済した分だけ借金が減って、その先の利息が減る

私は、ローンの基本的な仕組みを勉強し、それを元にエクセルの計算表を作り、

>２０００万円×（１＋２.５／１００）[３５乗]でいいのだろうと思・・・

実際の計算ができるサイトは他の回答を見てもらうとして、簡単な考え方だけ書きます。

度々スミマセン。

「住宅ローン シミュレーション」で検索すれば、例えば銀行などのHPでも、試算できるサイトはゴマンとありますよ。

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