部分空間と、その直交補空間への距離について

現在、大学の講義で部分空間と、それに対する直交補空間について学習しています。
そこで、部分空間を張るベクトルをU = {u1, u2, ... ,un}　（u1～unは縦ベクトル）とした場合、
その部分空間への射影行列は P = U*U^t (^tは転置）で表され、それと対応する直交補空間
への射影行列はP⊥= I - P（I は単位行列）となると習いました。
また直交補空間への射影成分の距離d⊥は
　(d⊥)^2 = || P⊥*x ||^2 = x^t *(I - U*U^t)*x　であると習いました。

ここで質問なのですが、上の距離の式の"x"とはどのようなデータですか？
また、上の式はノルムの二乗となっているので、距離は常に正の数ということになりますか？

色々と質問してしまい、すみません。よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2011/10/29 18:52

＞ 上の距離の式の"x"とはどのようなデータですか？

質問の意図がイマイチ判りませんが…
x は、部分空間 Span U を含むもとの線形空間のベクトルです。
それを、行列 U を表示したのと同じ基底の上に成分表示して、
列ベクトルとして書いたもの…と言えば、正確かな。
もとの線形空間どんな空間かは、質問文中に記述がありませんが、
転置を(エルミート共役ではなく)使っているところを見ると、
何かの実線形空間には違いないでしょう。

＞ 上の式はノルムの二乗となっているので、
＞ 距離は常に正の数ということになりますか？

左辺が、距離ではなく、距離の二乗であることに注意しましょう。
距離は正または零と定義されていますが、それは
その式から導かれることではなく、両辺の平方根をとるときに
別途必要な条件です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2011/10/31 10:57