大学数学の幾何学の問題です。 距離空間と位相空間の関係について述べよ どなたか教えて下さい！！！

大学数学の幾何学の問題です。

距離空間と位相空間の関係について述べよ

どなたか教えて下さい！！！

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/27 17:04

距離空間であろうとなかろうと、任意の集合上には何らかの位相を定義することができるし、

位相空間であろうとなかろうと、任意の集合上には何らかの距離を定義することができます。
でも、これはそういう話ではないですよね？

距離空間 X が距離関数 d を持つとすると、
B(c,r) = { x∈X | d(x,c)<r } で定義される「開球」 B(c,r) を全て集めた
{ B(c,r) | c∈X, r∈R } を開基とする開集合族があって、X は位相空間になります。
この位相を d が導く「距離位相」といいますが、
距離位相は距離空間にとって特別の位相であり
距離空間を距離位相空間と同一視することも多いものです。
その意味で、距離空間は位相空間でもあるとも言えます。

逆に、位相空間が先に与えられた場合はどうでしょう。
位相空間上に距離関数を定義して、その距離関数が導く距離位相が
もとの位相と同値になるとき、その位相は「距離化可能」であるといいます。
全ての位相空間が距離化可能なわけではないのですが、かなり広範な
というか、我々が日常的に扱う位相空間の大半は距離化可能です。
位相空間が距離化可能であるための十分条件が何通りか知られており、
「距離化定理」と呼ばれています。ウリゾーンの距離化定理が有名でしょうか。